专题04 实数与二次根式的运算（讲通）（教师版）.docx

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1、专题04实数与二次根式的运算1 .了解有理数、无理数、实数的概念；2 .了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系；3 .掌握实数的运算法则，并能灵活运用；4 .了解二次根式的概念；5 .掌握二次根式的运算法则，并能灵活运用。营考点梳理一、实数的基本概念1.无理数的概念：(I)定义：无限不循环小数叫做无理数.(2)解读：1)无理数的两个重要特征：无限小数；不循环.2)无理数的常见类型：具有特定意义的数。如兀等；(每相邻两个1之间依次多一个2)等；开方开不尽的数，如、历，班等.那么，是否所有带根号的数都是无理数呢3)有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小

2、数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循 环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.例1、下列实数”、sin60 p (2p 3.14159、何、(-可2、逐中无理数有()个A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C.【解析】无理数有sin60。、- 8.32.实数的概念及分类：(1)定义：有理数和无理数统称为实数.(2)分类：按定义分：实数有理数整数、分数一-有限小数或无限循环小数按性质分：实数无理数正实数无限不循环小数正有理数正无理数负有理数负无理数(3)实数的性质:相反数：与人互为相反数o + 7 = 0.绝对值:0, = 0 或问=Va,a0a

3、, a0-a.a0-a,a 0(4)实数和数轴上的点是一一对应的.兀是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆 形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是兀，因为直径为1的圆的周长为兀。(5)实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有 括号的先算括号里的。(6)实数中非负数的四种形式及其性质：形式：问0;q20;G0 (10);正中10.性质：非负数有最小值0；有限个非负数之和仍然是非负数；几个非负数之和等于0,则每个非负数 都等于0.(7)实数中无理数的常见类型：所有无丕尽的方根都是无理数，且

4、不可认为带根号的数都是无理数；圆周率兀及含有兀的数是无理数，例如：2r + l等；例 2、在 3.14,网,日,（62）,巴，cos30, tan45，一，0.1010010001 5 1, 3%,O.3i 中，哪 27些是有理数？哪些是无理数?【答案】3.14, 4, (3-2), tan 450,一, 51, 3%, 0.3i 都是有理数;78,-,-cos30 , 0.1010010001 ,都是无理数.2例 3、计算:8+R2 - 3| - (1) 1- (2015+2) .3【答案】解：原式=2亚+3 - 22-3-1=- 1.例 4、|函-1|+20120- ( - 1) -1 -

5、 3tan30o.3【答案】解：原式- 1+1 - ( 一 3)- 3=3+3 - 3=3.3变式计算：2001 2002 2003 2004 +1【答案】设 n=2001, 则原式二 /nn + l)(n + 2)( + 3) + 1=(n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) +1 (把 n2+3n 看作一个整体)= V(2+3n)2+2(n2+3n) + l=n2+3n+l=n(n+3)+l=20012004+l=4010005.二、二次根式的概念1 .二次根式的定义：形如& (a0)的式子叫做二次根式2 .二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号、：第二，被开方数是正数或0。第三，二

6、次根式右(”0)表示非负数。的算术平方根。例5、当X取何值时，J9x + l+3的值最小？最小值是多少?【答案】 19x +1，O, 9x + l + 33 ，_1 当9x+l=0,即 5时，:9x + l+3有最小值,最小值为3.3 .性质(I)(V)2 =a (aO).V a2 = a (aO) V O1 = a (aO)ya _ a(a0, bO)例 6、计算：(46-4 + 38)22 ；【答案】原式=(4新-2 + 6)2 =23+2.4 .最简二次根式二次根式 (aO)中的。称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式(被开方数不能存在

7、小数、分数形式)；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含二次根式。二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.5 .同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。合并同类二次根式：aC + bG = (a + b)& 同类二次根式才可加减合并.综合训练1. (2022.山东济宁学院附属中学九年级期末)实数-6, I- 2b 0,在中，最小的数是()A. - 3B. I - 2lC. OD. 4【答案】A【分析】直接利用实数比较大小的方法得出答案.【详解】解：*-3 , -yf2=yf2 。，/?=2,实数-百，-2, 0, “中，只有-

8、石是负数，故最小的数是-6.故选：A.2. （2022.福建三明一中九年级开学考试）下列实数中，无理数是（）22A. 3.14B.C. A-D. /5【答案】D【分析】根据无理数的三种形式找出无理数的选项.【详解】解：A、3.14是分数，是有理数；22B、学是分数，是有理数；。、4=2,是有理数；。、如是无理数；故选D3. （2022.四川绵阳.中考真题）计算MXJ诙的结果是（）A. 6B, 62C. 63D. 66【答案】D【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.【详解】解：1812=3223-6/6故选：D.4. （2022重庆实验外国语学校九年级

9、月考）估计（2后-匠）G的值应在（）A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间【答案】B【分析】利用二次根式的混合运算性质计算出结果后再估算大小即可.【详解】解：JM = 253-123=2 加= 25-2.V25 2.5,/.425 5,225-23,即原式值在2和3之间，故选：B.5. （2022常熟市第一中学九年级开学考试）在下列四个实数中，最小的数是（）A. -2B. -C. 0D. -33【答案】A【分析】根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.【详解】根据实数大小比较的方法，可得-2-60/所以

10、四个实数中，最小的数是-2.故选：A.6. （2022.江苏泰州中学附属初中九年级三模）下列运算正确的是（）A. a2 + a3 = a5B. （2x）3 = 2x3C. Qab）（a-b）=a22abb2D. /2 + y/s = 32【答案】D【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，二次根式的加减运算进行求解即可.【详解】 解：A、/与/不是同类项不能合并，故错误;B、(-2x)3=-8x3,故错误；C、(a-b)(-+/?)=-/ + 2a/?-/,故错误;D、2+8=2 + 22=32 ,故正确；故选D.7. (2022.北京交通大学附属中学)计算：(1) 12(2) 1212

11、q(15)【答案】(1) 33 + 6; (2)半【分析】(1)根据零次幕，负整数指数幕，绝对值和。指数幕的性质进行求解即可;(3)利用二次根式的乘除计算法则求解即可.【详解】解：12 += 23+9-(2-3)-l= 23+9-2 + -1=3/3 + 6 ；(2) 1212手 (15)= 243-4152=18 X产152328. (2022.陕西西安市.交大附中分校九年级模拟预测)计算：27-3+(-2.【答案】4【分析】根据立方根，绝对值的定义，负整数指数幕计算即可.【详解】解：原式=3 - 3+4 =4.9. （2022长沙市雅礼实验中学九年级月考）计算：|-2|-（3.14-）0+4尸-厄. 【答案】5-23【分析】直接利用零指数幕的性质以及负整数指数幕的性质、绝对值的性质等知识分别化简得出答案.【详解】解：原式=2 - 1+4-2W = 5-23 .10. （2022西宁市教育科学研究院中考真题）计算：（6+ 3）（6-3）-（6-1-.【答案】-8 + 23【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案.【详解】解：原式=（5-9）_（3-2百 +1）= -8 + 23 .