椭圆的92条经典性质及证明.docx

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1、丫22ppl.PF1+PF2 = 2a2.标准方程 + 2 = l3 J_ = ebO)的两个顶点为4(一”,0),4(,0)，与y轴平行的直线交椭圆于Pi、P2时AlPI与A2P2交点 a b22的轨迹方程是I-斗=1. a b 2210.若片(X(PyO)在椭圆+=1上，则过此的椭圆的切线方程是 + 誓 =1. a ba b2211 .若片(X(PyO)在椭圆T + = = l外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pi P2,则切点弦PP2的直线方程是 a bXOX 1 %y =1a2 b2221212 . AB是椭圆0 + 2 = 1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则七-7. aba2

2、22213 .若片(X(PyO)在椭圆T + = = l内，则被P。所平分的中点弦的方程是考+ ?畔=2 +咚. a ba b a b222214 .若片(X(PyO)在椭圆+2=1内，则过P。的弦中点的轨迹方程是+斗=浮+等. a ba b a b15 .若PQ是椭圆3 +多=1 (ab0)上对中心张直角的弦，则二+=4+ C=OP,G=OQ). a brx r1 a b2216 .若椭圆+斗= l(abO)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax + 5y = l (A60),则(1) + = A2+B2 ;(2) abab 2A+PB7L -6Z2A2+2B2 ._r217 .给定椭圆G ：

3、 b2x2+a2y2 =ab2 (abO) , C2： b2x2+a2y2 =(则对G上任意给定的点RX,%), a +b它的任一直角弦必须经过C?上一定点M ( X0,- %). -a +b a +b(ii)对C2上任一点P(x0, J0)在C1上存在唯一的点”,使得的任一直角弦都经过P点.2218.设P(X(Pyo)为椭圆(或圆)C：T + A = 1 (a0,. b0)上一点，PR为曲线C的动弦,且弦PPi, PP2斜率存在，记为 a b1 Z72kb k2,则直线P1P2通过定点MrOXO,-冲0)(加wl)的充要条件是左1 左2 =7 -1-m a2219.过椭圆T + A = l

4、(aO,bO)上任一点A(X(PyO)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线Be有定 a b向且心C二(常数).Q %2220.椭圆0 + 2 = 1 (abO)的左右焦点分别为H, F2,点P为椭圆上任意一点/耳乙=/，则椭圆的焦点三角形的 a b面积为鼠尸弘=人2 tan/ , P(-Jc2-b2 tan2, tan).122 CN2 c 221.若P为椭圆二十y2= 1 (abO)上异于长轴端点的任一点,F, F 2是焦点，ZPF1F2 - a , ZPF2F1 - ,则a-c a=tan-tan2p- = 1 (abO)的焦半径公式：|知|= + 6%0，|川耳|=一%0

5、(4(一。,0),与(G0), M(x0,y0).2223 .若椭圆 +2=1 (abO)的左、右焦点分别为H、F2,左准线为L,则当 a b后-lebO)上任一点由旧为二焦点,A为椭圆内一定点，则2a- AF2 PA + PF1 2+IABL a b当且仅当AB，P三点共线时，等号成立.25 .椭圆g + 2 = l (abO)上存在两点关于直线/： y =%)对称的充要条件是与2 竺a ba +b k26 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相

6、垂直. - acoscp0128 . P是椭圆bO)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是/ =y = bsin1 + sin 222229 .设A,B为椭圆鼻 + = 左(左O,左1)上两点，其直线AB与椭圆3 +2=1相交于P,。,则A尸=6。. a ba b30 .在椭圆3% = 1中，定长为2m (oVmSa)的弦中点轨迹方程为根ITT+ *)卜/以或+ /sir?a)浜中tan or =,当 y = 0 时，a = 90 .ay2231.设S为椭圆T + A = l (abO)的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记IABl=r M(X(PyO)是AB a b中点，则当

7、S时，有()nia=幺丁 (c2=j2,e = g);当/ (Ax0 + By0 + C)2.ab34 .设椭圆3 +斗=1 (abO)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在aPFE中，记N4尸耳=。, a bin ry c PRF2=0,FF2P = y,则有= = G.sin p + sin / a35 .经过椭圆力2+Q2y2 =2力2 (ab0)的长轴的两端点AI和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于PI和P2,则 14AIT 4 =b2.36 .已知椭圆+= 1 (abO), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且。尸，O。.(1)= 4 + a b1I O

8、P2 OQ 2 a b2%P的最小值是E4。2。2(2) 0PF+0Q2 的最小值为二_-； (3) a +b37 . MN是经过椭圆Z+Q2y2 =2人2 (ab0)焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则 AB 2aMN.38 . MN是经过椭圆/A/+/=2 (ab0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦。尸_LMN,则21111-1aMN OP2 片 b2 -39 .设椭圆5+与=1 (abO) ,M(m,o)或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交 a bq2万2于P、Q两点，则直线AR A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在

9、直线/： % = (或 = 一)上. mm40 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭 圆准线于M、N两点，则MFLNE41 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, Ai A2为椭圆长轴上的顶点，AIP和AzQ交于点M, A?P和AlQ交 于点N,则MFJ_NF.227 242 .设椭圆方程j+2=L则斜率为k(kO)的平行弦的中点必在直线/： y = kx的共辗直线y = /%上,而且kk =-. aba2243 .设A、B、C、D为椭圆会+齐=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为私分，直线AB与CD相交于P,且

10、P不在椭圆上,则叫彗=吁。y+。；SinyIPC PD /2 cos2 a + a sin a 2244 .已知椭圆a + % = 1 bO),点P为其上一点H, F?为椭圆的焦点，/耳尸耳的外(内)角平分线为/,作日、F2分别垂直/于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、5形成的轨迹方程是2+丁2=2(02,2 = .).a2y2 +b1 (xc)45 .设AABC内接于椭圆，且AB为的直径，/为AB的共辄直径所在的直线，/分别交直线AC、Be于E和F,又D 为/上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.2246 .过椭圆5+2=1 (ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦

11、MN的垂直平分线交X轴于P,则 a bPF _e MN247 .设A (x,y)是椭圆 + W = l (ab0)上任一点，过A作一条斜率为的直线L,又设d是原点到直线L a ber y1的距离，分别是A到椭圆两焦点的距离，则d = Clb.48 .已知椭圆 +与=1 ( abO)和二+与=2 (02bO) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交于点P(X(P0),则 a ba2-b2 a -b Xq bO)上异于长轴端点的任一点问、F2为其焦点记/耳耳=6 ,则 a b-(I)IPGllPg I= 5pf =b2 tanl + cos6, 1 2251.设过椭圆的长轴上一点

12、B (m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相a m ci2 (n mf应于过H点的直线MN： X = 于M, N两点,则NAffiN = 90 O= Ta + m b (j + a)2252. L是经过椭圆5 +=1 ( abO)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P L , a b若EPF = a,则。是锐角且SinaVe或。wsine (当且仅当/W =h时取等号).2253. L是椭圆5 +2=1 ( abO)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P L , e是离心率，ZEPF = a, H是L a b与X轴的交点C是半焦距，则是锐角且SinaVe或azrsine (当且仅当W=ab时取等号).54. L是椭圆+与=1 ( abO)的准线，E、F是两个焦点，H是L与X轴的交点，点P , NEPF = a,离心率 a b为e,半焦距为c,则为锐角且Sinl /或q wcsin (当且仅当IjPHl= J十片时取等号).c2255.已知椭圆5+2=1 ( abO),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点FI a b连结起来，则从