第1章二次函数专题之函数最值问题教师版）公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、二次函数专题之函数最值问题【类型综述】二次函数的图像、性质问题中，求给定区间内函数的最值，是中考数学的热点问题.对于整个函数图像来说，最值在顶点处取到，而对于函数图像的一部分来说，则未必。常见的两种类型分别为：一是给定区间，对称轴不确定；二是给定对称轴，区间不确定。一般步骤是根据已知，画出函数图像，再根据给定的区间或对称轴进行分类讨论，根据题意 建立方程求解。难点是有时分类讨论次数较多，计算比较繁琐，容易出错。【典例分析】【例1】已知二次函数y = 02+20x + 3+3 （其中X是自变量），当x2时，,随X的增大而增大，且当2xl时，,的最大值为9,则的值为（）A. -1B. 1C. -2

2、D. 2【答案】B【详解】;二次函数y=Q2+2+32+3 （其中X是自变量），2。对称轴是直线=-=-1,2a.当x2时，y随X的增大而增大， Q O ,V-2xl时，y的最大值为9,.*. x=l 时，y=+2tz+3tz2+3=9,.*.32+3a-6=0,.*. = 1,或=-2 （不合题意舍去）.故选：B.【变式1】已知二次函数y=N+mx+的图像经过点(一1,3),则代数式襁+1有(A.最小值一3B,最小值3 C.最大值一3D,最大值3【答案】A【详解】;二次函数y=N+g+的图像经过点(-1, -3),-3=l-m+,.,.=-4+m,代入 m+l,得 mn+1 =m2-4m+1

3、 =(m-2)2-3. 代数式mn+1有最小值-3.故选A.【变式2】已知点A。，y), B+2, M在抛物线尸-的图象上，且一 2主2,则线段AB长的最大值.【答案】210【详解】 点Aa y), B(r+2,在抛物线y= - ；N的图象上，,1 O1 O Io . Yi =-一住,yi 一 +2)2 = - - - 2t - 2f 222.A2 = +2 - 02+(j2 - Jl)2= 22+( - 一/-2L 2+产)2 22=4+(- It- 2)2 =4(什 1)2+4.AB2与1是二次函数的关系，由抛物线性质可知：当方=- 1时，AF取得最小值，AB2=A, AB=2当 1=2

4、时，取得最大值，AB2=4(2+l)2+4=40, AB=2W，故答案为：2io.【变式3】已知二次函数y =4 + 3,当自变量满足lx3时，) 的最大值为小 最小值为，则。的值为.【答案】9.【详解】二次函数 y = %24x + 3 = (x 2)21,该函数图象开口向上，对称轴为直线x = 2,丁当自变量满足lx 的最大值为,最小值为2,.当X = -L时，取得最大值，当 = 2时，函数取得最小值， a- 1+ 4+3=8, /? = 1, a- b= 8- (- 1)= 8+1=9,故答案为：9.【例2】已知关于X的二次函数丁=依2 - 4qx+q+1 (q0) (1)若二次函数的图

5、象与X轴有交点，求。的取值范围;(2)若P (m, n)和。(5, b)是抛物线上两点，且求实数机的取值范围；(3)当机xm+2时，求y的最小值(用含、机的代数式表示).【答案】(1) ； (2) Jn5； (3) y的最小值为：am2 - 3+l或- 3a+l或 am2 - 4am+1.【详解】解：(1)由题意得： = ( - 4。)2 - 4a (Q+1) 0,且 aOf解得：a；34/7(2)抛物线的对称轴为直线X=2,Ia当扑=时，根据函数的对称性，则机=-1或机=5,故实数机的取值范围为：机5；(3)当机+22时，即机0时，函数在X=机+2时,取得最小值，ymina (m+2) 2

6、- 4a (m+2) +l=m2 - 3a+l；当 m2m+2 时，即 0m2时， 函数在X=机时，取得最小值,ymin=am2 - 4m+l;综上，y 的最小值为：am2 - 3+l 或-3a+l 或 am2 - 4am+a+l.【变式1】二次函数y=-(-l) 2+5,当机x且机VO时，y的最小值为2机，最大值2, 则m+n的值等于()13D.A. 0B. C. 一22【答案】B【详解】 二次函数y=- (-l) 2+5的大致图象如下:当机0xVl时，当X二机时，y取最小值，即2祖=-(m-l) 2+5,解得：m=-2,机=2(舍去).当X=时,y取最大值，即2=I(I-I) 2+5,解得

7、：=2或=-2 (均不合题意，舍去)； 当机V0l夕时，当X二机时，y取最小值，即2祖=-(m-l) 2+5,解得：m=-2.当 X=I 时,y 取最大值,BP 2n=- (1-1) 2+5,解得：=2.5,或X=时，y取最小值，x=l时，y取最大值,2m=- (n-l) 2+5, =2.5,. 11m=一,8Vm0,此种情形不合题意，所以 m+=-2+2.5=0.5.故选：B.【变式2已知二次函数y=x2-2x+2在mxm + l时有最小值m,则整数m的值是()4 1 B. 2 C. 1或 2 D. 1 或 2【答案】C【解析】y=x-2x+2= (X-I) 2+1,分类讨论:(1)若顶点横

8、坐标在范围mxm+l右侧时，有机VI,此时y随X的增大而减小，当X=加+1时，函数取得最小值，y最小值=根=(m+l) 2-2 (m+l) +2, 方程无解.(2)若顶点横坐标在范围机x加+1内时，即有机SlS加+1,解这个不等式，即0ml.此时当X=I时，函数取得最小值，y最小值二1, .*. m=l.(3)若顶点横坐标在范围加xm+1左侧时，即机1时，y随X的增大而增大，;当X=加时，函数取得最小值，y最小值二帆=疡-2m+2,解得加=2或1 (舍弃).*.m=l 或 2.故选：C.【变式3】在平面直角坐标系Xoy中，直线y=4x+4与X轴，y轴分别交于点A, 点A 在抛物线y=ax1+b

9、x-3a (0)上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C.(1)抛物线的顶点坐标为 (用含。的代数式表示)(2)若二-1,当/一1刍3时，函数y=2+x-3 (QVO)的最大值为y,最小值为?，且 y-j2=2,求Z 的值;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.【答案】(1) (1,-4。)；(2) % =(或 = g; (3) g或。=1时，抛物线与线段5C有一个交点.【详解】解：(1)直线y=4x+4与X轴，y轴分别交于点A, B,：.A (-1, O), B (0, 4),点 A 在抛物线 y=42+7-3 (QVo)上， b=-2a,二抛物线 y=42+

10、-3= (X-I) 2-4,抛物线的顶点坐标为(1, -4).故答案为：(1, -4)；(2) Va = -I,抛物线的解析式为y = -x2+2x + 3.当/1 时，即/2时，M % = (r I)? + 2 1)+ 3 产 + 2才+ 3 = 23 = 2.,5 t .2当时，y1-y2=4-l)2+2-l) + 3 = 2-4 + 4 = 2.解得， = 2 （舍去）.当% 4.4 .3当抛物线顶点在线段BC上时，则顶点坐标为（1,4）. 4 = 2a3d. CL 1 4 -或a = -L时，抛物线与线段BC有一个交点.【例3】已知点A （1, 1）为函数y=6u2+x+4 （Q,方为

11、常数，且存0）上一点.（1）用。的代数式表示(2)若12,求二的范围；2a(3)在(2)的条件下，设当13后2时，函数y=6u2+7+4的最大值为相，最小值为九, 求机-(用。的代数式表示).【解答】解：(1)把 A (1, 1)代入 y=f+7+4 得，I=Q+/?+4,*b- - a - 3；(2) Yb= - 3-a,.y=x2 -(+3) x+4=Q (%2 + -,J2a 4 4a 2对称轴为直线X=管， 2aVl2,i2, 42 2a - 2; 4 2a(3) -2, 1%2, 420 j ci+3l095 兰 X=p，n=1-2a4 4 2 抛物线开口向上， 离对称轴越远，函数值

12、越大，时3 - 2- 5 - 4 当 x=2函数值最大,9a99I , 442 m=4a - 2a - 6+4=2。- 2,.,. n - =2。+ + -4a 2当2时，x=l函数值最大, 2 2a.*.m=a - a - 3+4=1,【变式1】已知二次函数y= - N+mx+加（机为常数），当-2x4时，y的最大值是15,则m的值是（）313131A. -19 或1 B. 6 或丁或一10 C. -19 或 6D. 6 或彳或一19【答案】C【详解】解：:二次函数y = -X2 +mx + m = -（x-）2 +- + m?IYl二当一V 2时，即机V-4,2 -2x4时，y的最大值是15, 当 X=-2 时，（2）22机 + 机=15 ,得机=-19； i当-2-4 时，BP-4m4时，即机8,2当-2x4时，y的最大值是15,31当 x=4 时，-42 +4m + m = 15，得机=M-（舍去）；综上可得，机的值是-19或6.故选：C【变式2当- 2xl时，二次函数y= - （x - m）2+m2+l有最大值4,则实数