9-2 椭圆及其性质-2024.docx

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1、9.2椭圆及其性质基础篇考点一椭圆的定义及标准方程1.（2023届广州阶段测试,3）记p: “方程（怯1）r+（3加）V=1表示椭圆”，g： “函数/（x）=+（e2）x无极值”，则是 g 的（）A.充耍条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B2. （2021新高考I ,5, 5分）已知产1, B是椭圆C + =l的两个焦点,点用在C上,则IMFlHMF2的最大值为（）A.13 B.I2 C.9D.6答案C3. （2021浙江嘉兴一中开学考）已知P为椭圆t+ =I上一点,若P到一个焦点的距离为 941,则P到另一个焦点的距离为（）A.3B.5C.8D.12答案B4

2、. （2022广东深圳中学月考,6）已知直线/:尸x+1与曲线Cx2W=I相交于A, 8两点,F（0,-l）,则然的周长是（）A.2B.22C.4D.42答案D5. （2023届江苏省包场高级中学检测，13）已知椭圆+若=1,长轴在），轴上.若焦距为2,则相等于.答案76. （2021全国甲，理15,文16,5分）已知Q,B为椭圆C + =l的两个焦点,P,Q为C Io 4上关于坐标原点对称的两点,且IPQ=IaF2,则四边形PFlQF2的面积为.答案8考点二椭圆的几何性质1. （2022武汉二中月考,5）已知椭圆J+y2= （g）和双曲线_尸=（加有相同焦点，则 （）A.=m+2B.n=a+

3、2C.a2=rn2+2D.m2=a2+2答案A2. （2019北京理,4, 5分）已知椭圆W + =1 （ab的离心率为士则（）A.2=2B3a2=4b2C.a=2hD.3a=4b答案B3. （2023届广东佛山顺德教学质量检测一,6）己知四边形A5CD是椭圆C +V=I的内 接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形ABCO为矩形,则四边形ABCO 的面积的最大值为（）A.43B.yC.3D.42+ 26答案A4. （2022河北秦皇岛三模,5）已知椭圆+，=1 （a比0）, F（-3, 0）为其左焦点,过点 F且垂直于X轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tanN40FW（O为原点）

4、，则椭圆C 的长轴长等于（）A.6B.12C.43D.83答案C5. （多选）（2022河北衡水冀州一中期末，10）已知椭圆Cw + g=l （a0）的右焦点为F, 点尸在椭圆C上,点。在圆氏（x+3）2+（4）2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆。外,若 IPQHPA的最小值为25-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正确 的是（）A.椭圆C的焦距为2B.椭圆C的短轴长为百C.PQ+PF的最小值为25D.过点尸的圆E的切线斜率为言立 答案AD6 . (2021 浙江，16, 6 分)已知椭圆盘+(ab0),焦点 F(C, 0), F2(c, 0) (c0).若过 R 的直线和圆

5、( -c):产=/相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PBLx轴,则该直线 的斜率是,椭圆的离心率是.答案等 B7 .(2019课标In理，15, 5分)设R, B为椭圆C + l的两个焦点,M为C上一点且在 第一象限.若AMQB为等腰三角形,则M的坐标为.答案(3, 15)考点三直线与椭圆的位置关系1.(多选)(2022福建莆田二中模拟，10)已知椭圆C= +岸l(a),焦点HQG O),2(c,O) (c0),下顶点为B过点Fx的直线/与曲线C在第四象限交于点M,且与圆A: (x+2c)2+V=g相切,若丽钻=o,则下列结论正确的是()A.椭圆C上不存在点Q,使得QF1 QF2B.圆A与椭圆

6、C没有公共点C.当。=3时,椭圆的短轴长为26D.F2B-LFiM答案AC2.(多选)(2022山东荷泽二模，11)已知椭圆：y+=l的左,右焦点分别为F1, F2,直线 x=m(-V2 m0),由 l+b2 b2A(Lm在C上可得T +盘=1，解得b2=3或6=卓舍去)，故椭圆C的方程为9 + 7=1.设直线 AP: V-I=Z(X-1), AQy-I=-MX- 1),(y _| = k( 1),联立221 肖去y整理得(3+4d)x2-(8Ai2Qx+4%2-i2h3=0,土 +匕=1,143W n( mil , i Sk2-12k44fc2-12k-3设 P3,y),则 =r = 65=

7、%(介1),丁尸6+8k2，lll p4k2-12k-3 -12k2-12k+9 人0 3+4“2-6+8k2-Jf以代替“，得。(e等)，24k _.秘=Ql = 雷=3,即直线/的斜率为;.XQF E 222 yr25. (2020天津,18, 15分)已知椭圆巳+ =1 (abO)的一个顶点为A (0, -3),右焦点为Ft 且IoAI=OE,其中。为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足30C =和,点8在椭圆上(8异于椭圆的顶点)，宜线AB与以。为圆 心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.解析 由已知可得43.记半焦距为c,由IOFl=IoAl可得c4=3.

8、又由a2=b2+c2i可得=18.所以椭圆的方程为3+ -=1.因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以A6_LCP.依题意知,直线AB和宜 (y = k- 3,线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为产质3.由方程组/y2 消去必可得 (6+.=1，(26M)X212U0,解得广O或广标.依题意,可得点B的坐标为(悬,票习.因为P 为线段AB的中点,点A的坐标为(0,3),所以点P的坐标为(就7五三)由30C = OF,-3得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为亨；即“2 :人.又因为CP,所以 -12kZ-6k+l2k2q37=-L整理得2&2-3- 1=0,解得 鸟或A=L所以直

9、线AB的方程为尸#3或y=x-3.6.(2022山东济宁三模,21)已知椭圆上:5+。1(公历0)的左、右顶点分别为A、B,点 厂是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上,且IQQ的最大值为3,椭圆E的离心率为去 (1)求椭圆E的方程；(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B)t与直线x=2交于点M NPFB的 平分线与直线户2交于点N,求证:点N是线段的中点.1QFma = + c = 3, 解析由已知可得| =三 a 2a2 = 2 + c2,a = 2,22解得b = 3,因此椭圆上的方程为亍+ $1 c = 1.证明：由对称性,不妨设点尸在X轴上方.当直线P/7的斜率存在时，因为FN

10、平分NPFB,所以NPFB=2NNFB,所以tanNB=i,即h产篇设直线AP的方程为广屋x+2),其中k0,联立消 y 可得(4乃+3)/+16&+16R-12=0,设点P(x,y),则以尸嗡言,所以第=黑，则3+2)二送p即点尸(黑,黑)，12k _所以 kpF=*1 = =备，X1-I 6-8fe 1l-4k23+4k2设直线FN的方程为y=m(x-),则点N加，把x=2代入广攵G+2)得y=4kf即M(2, 4k), 因为M=熬Q所以号=彘，整理可得(2k-m) (2to+l) =0,因为切0,所以m=2k,所以= = ,所以点N为线段的中点.当直线P尸的斜率不存在时,不妨设点尸(1卷

11、)，则直线AP的方程为G+2),所以点M(2, 2),又因为直线HV的方程为y=x-l,所以点N(2, 1), 所以点N为线段的中点.综上可知,点N为线段BM的中点.综合篇考法一 求椭圆的标准方程1.（2022江苏苏州中学月考,7）已知椭圆C：W +，=l（a0）的左、右焦点分别为 离心率为今过B的直线/交C于A, 8两点,若“尸山的周长为43,则椭圆C的方程 为（）y2A.y + y2 = l2 v2C二+J=I128答案BbX + =i322 v2DN +J1242. （2022全国甲文，11, 5分）已知椭圆C：4 + A=I（Ab0）的离心率为;,AhA2分别为C的左、右顶点,8为C的

12、上顶点.若西两=-1,则C的方程为（）2y22v2A + 77 = 1B.- + -=l181698v2v22C9 + 5=d.=i答案B3. （2019课标I文，12,5分）已知椭圆C的焦点为长（1,0）,尸2（1,0）,过户2的直线与C交 于A, B两点.若IABl=2B仇A5=3B,则C的方程为（ ）f22y 2A + y2 = lB.- + v=l2J322丫22y2C. V + - = 1 D.W1 4354答案B4. （2022河北保定部分学校期中，16）已知椭圆。的中心为坐标原点,焦点在），轴上,Fh B为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点尸,使得IPBI=6|PB|,

13、写出C 的一个标准方程:.答案 9 +9 =1（答案不唯一）5. （2020课标H理，19, 12分）已知椭圆G :冬+，= I（G/0）的右焦点尸与抛物线Cz的 焦点重合,Cl的中心与C2的顶点重合.过产且与X轴垂宜的直线交Cl于4, 6两点,交Cl 于 C,。两点,且C0WA8.（1）求G的离心率；设M是G与C2的公共点.若IMFl=5,求G与C2的标准方程.解析(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=2 - b2.不妨设A, C在第一象限，由 题设得A, B的纵坐标分别为弓;C D的纵坐标分别为2c, -2c,故A3=r,CQ=4c.由 IS二轴引得4c=挛,即3- = 2-2()；解得=2(舍去)或 = 所以Ci的离心率为;.33a aa aa 22(2)由(1)知 a=2c, b=y3ct i Ci:-77 + 7=l. 4C3C设 M(o