9-5 圆锥曲线的综合问题-2024.docx

《9-5 圆锥曲线的综合问题-2024.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《9-5 圆锥曲线的综合问题-2024.docx（28页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、9.5圆锥曲线的综合问题综合篇考法一求轨迹方程1 . （2022山东聊城二模,4）已知点P在圆0:+/=4上,点A （-3, 0）, 8（0, 4）,则满足APlBP的点P的个数为（）A3 B.2 C.l D.0答案B2 . （2020课标In文,6, 5分）在平面内,A, B是两个定点,C是动点.若前近=1,则点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线 D.直线答案A3 .（2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8）已知圆C的方程为（X-I）2+）,2=16, BQ 1,0）,A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点,则点P 的轨迹方程为（）2v22v2A9 +

2、J=lB.-=l1691692v22v2C.- + - = 1D.-J=l4 343答案C4. （2017课标 ,文20,理20, 12分）设。为坐标原点,动点M在椭圆C与+/1上,过M 作X轴的垂线,垂足为N,点P满足称=y2NM.求点P的轨迹方程；设点Q在直线,v=-3上,且祝丽=L证明:过点P且垂直于OQ的直线/过C的左焦 点五.解析 设 P(% y), M(xo, yo),则 N(X0, 0), NP= (x-xo, y), NM= (0, y0).由而=记得 2沏=% yo=yy因为M(X0,泗)在C上,所以9 + ?= 1.因此点P的轨迹方程为x2+=2.证明：由题意知尸(-1,0

3、).设 Q(-3, f), P(?, )，则的=(3, f),而=(-l-m, -n),OQ PF=3+3rn-tn, OP= (w, n), PQ=(-3-z, t-n).由诃 PQ=I 得-32-加2+5_2=,又由知 m2+n2=2,故 3+3n-tn=0.所以丽 PF=O,即而 1 PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的宜线/过C的左焦点F.5. (2023届长沙市明德中学检测,21)平面直角坐标系内有一定点-l,0),定直线,x=-5, 设动点P到定直线的距离为,且满足尊=停.d 5(1)求动点P的轨迹方程；(2)直线m:y=kx-3过定点Q,与动点P的轨迹交

4、于不同的两点M, N,动点P的轨迹与)， 的负半轴交于4点,直线AM、AN分别交直线产-3于点”、K,若Q+QKW35,求上的 取值范围.解析(1)设动点P的坐标为(x,y),因为等=9,所以(即5(x+l)2+y2=仇+5F,整理得f+ 7=1.所以动点尸的轨迹方程为 +=l设M(x, ,), N(X2,，由可得点A的坐标为(0, -2),故直线AAf :)，=马-2,令y=- xI3,则切=/，同理*潦？由忆 x5y23L 20消去 y 得(4+5尸)P30H+25=0,由 4=900尸-IOo(4+52)0,解得 Zv-I 或 Ql.由根与系数的关系得汨+T2=XIX2=二L2, XIX

5、20, 4+544+5fc= + ,| Xl + 2 I _ I 2依1%2-(%1+Q) IIfcx1-I kx2-l k2x1x2-k(x1+x2)+l5O30k4+s4+S2_C| I I 25M 30纥一。阳，4+5fc2 4+Sk2因为IQ*+IQq35,所以 5k2=磊，”二品.因为前=2FA,所以(I-X2, -)=2(x-1, V),所以-J2=2y,解得 m2=,则LyII=詈, 所以丽I= 1 + m2 yl | =乎.8假设在X轴上存在异于点F的定点Q(, 0) (1),使得咎为定值.kQB因为 y+)2=, )D2=jp 所以)1+y2=2my1y2,所以&QA _ x

6、；Z = %(%2-力 _ %(my2+i)弦一襄一力g-0 一 2(m%+lT)二北九为+(1一亡1 _ 2刀当、2+2(1-)当 _ (3-2t)y+y2my1y2+(l-t)y2 - 2my1y2+2(l-t)y2 - y+(3-2t)y2要使警为定值,则有彳=-7,解得仁2或仁1 (舍去)，此时挥=1.KQB13-2tKqb故在X轴上存在异于尸的定点Q(2, 0),使得抖为定值.Kqb又IF2AI=Jc-1) + (1-0)2 =当WI+IQA的最大值为4+当(2)由题意知直线/的斜率存在,设/:尸攵(x+l), M(Xby),N(x”2),则P(O, %),y = k(x +1),由

7、 -2消 y 得(3+42) x2+8A+422-12=0,+ = 1Xl+X2=-Qk23+4H4k2-12VPM = 4MF；,即(x,y-2)=2(-l-x, -y)i则/一含,同理可得*日， JL十1十8lf22482 I xI-2 _ _ XI(I+#2)+必(1+%1) _ _ 2.1_2+(-1+%2)_ _ 3+42 -3+N _ z 1+X11+X2 (l+x1)(l+x2)- x1x2+(i+2)+ 4fc2-2- 8fe2.+ -3+4k23+* x8上2-24-8k28 M 日 r 8- 4fc2-12-8k2+3+4fc2 = ? * ZC 定值行3. (2020新高

8、考I , 22, 12分)已知椭圆CI +1 (abO)的离心率为当且过点A (2, 1).(1)求C的方程；点MN在C上,且AMlANt D1MN, D为垂足.证明:存在定点Q,使得IDQI为定值. 解析由题设得W + =,Q? = ;,解得=6,=3.所以C的方程为。+ 4=1. 63(2)证明:设 M(x, y), N(X2, Jz).22若直线MN与X轴不垂直,设直线MN的方程为)=依+而,代入2 + =1得 63(1 +22) x2+4knvc+2m2-6=0.于是R+M=-黑，Xm=盖由 4M_LAN知4M i4N=0,故(XL2) (x2-2) + (y1-l)(y2-l)=O,

9、可得 U2+l)jx2+(h/-2)(xi+x2) + -D 2+4=0.将代入上式可得(心 1)誓N- Gh2) + ( D 2+4=0.整理 得(2Z+37+1) (2A+*l)=0.因为 A(2, 1)不在直线 MN上,所以 2k+z-l0,故2k+3m+1 =0, 1 .于是MN的方程为y=kx 一 一 ：(即).所以直线MN过点P(|, -若 直线MN与X轴垂直,可得N(M -州).由丽？ 丽=0得(XL2) Gl2) + (p-1) (-y-l)=0.又 胃+ ?=1,可得3后-8x+4=0.解得为=2(舍去)或乃V此时直线MN过点P(,-). Q 为AP的中点,即QGt)若。与P

10、不重合,则由题设知AP是RsADP的斜边,故IDQw AP =竽若D与P重合,则|。QKHPI.综上,存在点qGW),使得IQQ为定值.4. (2022山东泰安三模,21)已知椭圆+ g=l (abO)的离心率吟,四个顶点组成 的菱形的面积为8,。为坐标原点.(1)求椭圆E的方程；过。0:9+)，2(上任意点P作。的切线/与椭圆E交于点M,N,求证:西所为定 值.解析 由题意得2=82,芍=当=+/, 解得6Z=22, 6=2,所以椭圆E的方程为%+ 7=1.证明：当切线/的斜率不存在时,其方程为x=乎，当户手时,将广平代入椭圆方程+ = 1,得产乎,不妨令 33o 43M(冬聆-甯，哈,。)

11、,.丽=(。,甯,而=(。,-甯,PMPN = -|;当户当时，同理可得由 PN = -l当切线/的斜率存在时，设I的方程为y=kx+m, M(x, y1), N(X2, %),因为/与。相切,所以悬=竽，所以3序=8A8,(y = k% + m,由 二 尸2得(1+2炉)x2+4kx+2n2-8=0,十 1 84., 4km 2n2-8即+也=-向，即处二际.由 J= (4m)2-4 (1+22) (2w2-8)O,得 82-w2+40.PM PN=(OM -OP) (ON- OP) =OP2 一丽丽一丽丽 + 丽丽=而2 一OP2 -OP2 OM - ON = OM -ON,*, OM O

12、N=xX2+yy2=xX2+ (kx+n) (kx2+m)=(1 +k2) xX2+km (x1+x2) +w2= +B等+加(一黑)+应=号需士。，PMPV = 3综上,PM 丽为定值5. (2022河北衡水二调,21)已知椭圆C:1 + =1 (ab0)的长轴长为4, P在C上运动,Fh尸2为C的两个焦点,且COSNRPF2的最小值为最(1)求C的方程；已知过点M（0, m） Qbvmvb）的动直线I交C于两点A, Bt线段AB的中点为N,若布OB-OM-而为定值,试求m的值.解析（1）由题意得=2,设IPRl, PB分别为p, q,则p+q=2a,2M_pq _ 空1 2MPq - Pq -(掾J(p+q)2-4C2-2Pq2pq-I=今-1 （当且仅当PF时取等号），从而祟- 1 =今得则C的方程为1 + t=l 43若直线I的斜率不存在,易得而 OB-OM-0N=-3;若直线I的