不动点解特殊方程 （解析版）.docx

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1、不动点解特殊方程利用不动点法解特殊方程件可一个方程的求解都可以化为求某个函数的不动点间题.因为，任一方程总可以写成 g()=o的形式，这里g(x)是X的函数，将g()=o变为等式g()+= ,记 /(x) = (x)x ,就能得到与屋力=0的同解方程f (力=不，从而将求g(x) =()的解变 成求函数不动点的问题了 .在解方程之前，我们往往先要了解方程解的情况，如果方程根本就无解，那么研究它的 解法是没有意义的.另一方面，有些实际和理论问题的解决，只要求出方程的近似解， 甚至并不需要对方程进行具体求解,而只要知道方程的解是否存在.举一个颇有影响的 例子：公元1799年德国数学家高斯(Gaus

2、s )证明了在复数范围内，n次代数方程： 父+勺7 51+凡一2炉-2+. + 4彳+ %=。至少有一个根”即著名代数基本定理.利用不 动点理论，我们可以把方程Mx) = /+4-6+。,2+平+%=0的求根问题化 为求函数/G) = g(x) + x的不动点问题，由于方程网力=。的根不可能超越复平面的某 个半径很大的圆域，且函数g(“显然是连续的.因此，在这个大圆域内运用布劳韦尔 (Brouwer )不动点理论,知道至少存在一个拓，使不)=% ,即且(/)+毛=% ,也 就是说方程g(x) = O至少有一个根.可是，当时证明这个定理是艰辛的.也许上述这个例子较抽象.我们不妨来看方程 i但业如

3、把(*) 62要判定它是否有解，用常规方法是难以奏效的.事实上，判定方程(* )是否有解，就 是判定/(X) = Sincos三是否存在不动点.显然/(“在XW0，1时有意义，且xw0,l时，0s加IlQcs竽G .故 Of(x)l ,又因为当x0,l时正、余弦函数均为连续函数.所以/(x)也连续，由布 劳韦尔不动点理论可知/ W必有不动点，即方程(*)必有解.对于初等数学中的一类特殊的方程，下面我们在实数范围内，研究不动点与这类方程的定理1 .若函数y = f()的定义域为 ,值域为2 ,且2uo,则在2上，函数 y=W的不动点也是其n次选代函数/()的不动点，即方程/()=X的解也是方 程

4、/(力=大的解(wn).证明：(1 )当 =2时，设函数力的不动点为X。，即/) 二 % .因为 RU，所以/伉)=/)=，2)(%).所以/小)二%成立.(2 )设当 =Z时，命题成立.即/阳伍)=% .则当 =Z： + 1 时，/伏叫(用)=/F)(XO) = (%) = Xo .所以当=攵+ 1时命题也成立，综上，可知命脚寸 WN均成立.例1 .求方程25+10x2-25x+6 = 0的实数根.解：25x = 25+10x2+6(*)fiUX = 4 +-X2 += f2 +-1 +-525 I 5) 5令3 = Y+.显然quo, 所以f(力的不动点就是/(x)的不动点. 即，W +卜

5、X的实根就是方程(* )的实根. 解得K =昔的. 所以原方程的实根为g百.r9-22例 2.解方程X+：= (x+ + , 8 I 8J 44设/3=。+；)，则原方程为/(y)=y,因为卜+；的解为尸：.所以/(A=.V的解亦为尸；.所以原方程的解为=y H . O O例 3 .解方程 E = J2+j2 + 72 + x解:令f(x) =向，,则原方程为U)=X ,对于f(),易知quz .可知f W的不动点就是4)(x)的不动点.所以解方程方7d,得X =2 ; x2=-l (舍去)因而原方程的解为X = 2 .例 4 .解方程(炉一34 + 2丫-3(/ 3x + 2) + 2 戈=

6、0解：原方程可化为 X = (X2-3x+2)2-3(/-3x+2)+2令/(x) = f-3x-2 ,故原方程为/=X(x) = x2-3x-2 = x ,解得 = 2所以(J -3x-2)2 -3(x2 - 3x + 2) + 2 T= (-4x-2)(x) = 0 .因为。(X) = f-2 ,所以X = O或 = 2 .故原方程有四个实根，即26,2 .定理2 .若方程/(力=尸(力的解集为N, f(埋的不动点集为M ,则MqN .证明：若“力无不动点，则显然有MRN .若/是的任一不动点，XoCM ,则/(%) = 因为 ,() = () = XO= /()所以4是方程f(x) =尸

7、(X)的解.即XOWN .综上知有MqN .事实上，定理2说明互为反函数的两函数图像的交点未必一定在直线丁 = X上，如：函 数v=W=T3 (X e R)与其反函数N =尸=4( R)的图像的三个交点 (0,0),(-1,1),(1,-1),其中只有点(OQ)在直线V = X .定理3 .若函数y =/(X)在定义域内单调递增厕方程/(H = fT(的解是函数外力的 不动点.证明：若方程f(x) = fT(x)无解，则由定理2可知，/(X)无不动点.若方程“力二尸(可有解，设.%是它的任一解,贝厅K)二伍).若玉 厮)，因“X)在定义域内单调递增，则/)/(不)也不成立，故/(%)=题,即为

8、/(x)不动点.反之，若函数f(x)的不动点为七 ,由定理2可知，.%是方程/(X)=尸(力的解.例5 .已知函数外力=(1+5,2(42-2).解方程/(x) = fT(x).解：因为/(x) = (r+7 ,当x-2时，”单调递增，故只需解方程-X2 +x2 +x-l = x ,4，解得x=2 .所以方程f( = fT(x)的解为户母.我们常把一些方程的求解问题化为不动点问题来考虑，有些方程还可用逐步通近来解， 它是代数方程及计算数学中的重要方法，其主要思想是：若/(“是实函数，要解方程 /W = ,可将/(力=0化为等价方程g(x) = v (即求g(x)的不动点).由于该不动点 不易求

9、出，因此，我们考虑且(”的递归数列，*=8(4)( =。，1，2.).如果数列初始值 =。，且数列“有极限,即p严。=% ,当ga)连续时，Xo = Ii叫“ =m(j = g仅叫) = *( K),所以o) = O ,即方程力=0的实根为其。，其中，“称为”=0的n次近似根.例6 .求方程V-X2-I = O的近似根.解：原方程可化为=/+,两边同除/得x = l+5 .令 g(x) = i+5因为g(x)的不动点不易求出，考虑其递归数列m+l1+(=J2) n设“x) = x37 ,因为/=一0, /(1.5) = 0 .故取初始值=15 .则, =l + -!3- 1.44444, ,=

10、l + !7 1.479301l,5221.444442% 1.45698, a4 1.47108, a5 1.46209 ,061.46779,当foe时，,1.46560,gpIirnazt = 1.46560 = 所以g() = E ,故方程V-f T = O的一个近似根为% = 1.46560必须指出：若将方程化为V=Vt ,两边同除X得“/,令g() = V-J., XX则其通归数列为+产d -( =。/2.) n当4=L5时，4 1.58333, 2 1.87537, ay 2.98377 , a4 8.56772,.我们发现(读者可在计算机上进行计算),当n越来越大时,。“不趋于

11、任I可一个常数.用 数学语言说就是，数列”是一个发散数列，这样就求不出原方程的根了 .因此，如何 构造递归数列，构造的递归数列是否有极限是关键的.【强化训练】1 .解方程 arctanarctanarctanx = x .2.解方程入-=卜22)22 .3 .若/(x) = V+ ,解方程/( =尸(力.O4 .求方程V+x-l =O的正的近似根(精确到KT，).参考答案：1 . x = 0.【分析】令/(x) = arctanx ,由不动点法解方程的定理，要求原方程的解只需求/(幻=X的解 即可.【详解】设/(x) = arctaiL则/(力的不动点也是/(力的不动点，所以方程arctanx

12、 = x的根是原方程的根，方程arctanr = x有唯一解X = O ,所以原方程的根为R = O .2 再=2，X2 = -1 ,4 =【分析】研究/(文)=丁2的不动点，可得原方程的部分解,进而知(V-x-2)是(丁-2-2-X的一个因式，应用因式分解得到其它因式并求解，即可得原方程的解.【详解】令/(x)=f-2 ,则/C) = -2)2.方程f-2 = 的解为N =2,X2=-I ,也是方程/(X) = X的解，所以多项式卜22)2有因式(d_x_2),故(Y-2)2-2-x = 4-4f-+2 = (2_2乂/+%_) = 0 ,由 f+x1=0 ,得a 二= ,故原方程的根是芭=

13、2, 9 =T，24=二1好.3 . xl =O,x23 =-【分析】根据f(W的单调性与反函数的性质，转化为求/+9=.的解即可.O【详解】因为f(x)在R上单调递增，y = f(),y=T(力图象关于y=x对称，所以y=/(), y=尸(力图象交点就是-V=/(v)=X图象交点，故方程/(力二尸(力的解就是方程的解，O可得N =。，入2.3 = 所以方程/(x) = T(x)的解为X=(U2,3=半.4 . 0.61765.【分析】将方程化为x = - ,研究g(x) =-LrW(O4)的不动点，结合递归数列 x+1x+存在极限，取区间端点值为起始值，即可求近似根.【详解】原方程可化为X =-i7 ,令屋耳=白，其递归数列为。向=丁匕，所以原方程的正根在0与1之间,士23581321取初始值/ = L 4=不，生=工， = ，“4=6，火=7? c6 =不，%=?，ZJ3o13Z13421取生作为近似值，则XnWrBo.61765 .34