凹凸反转（学生版）.docx

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1、凹凸反转凹凸反转问题 专题阐述：很多时候，我们需要证明函数/(X) 。，但不代表就要证明了(%)min ,因为大 多数情况下，的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零 点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点不行可尝试用凹凸反转.规律方法/(x)0og(%)心)，如果能够证明g(x),m, 3)皿一则g(x)A(x)显然成立，很明显，g(x) 是凹函数，/心)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反 转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求的问题的，两种方法互为补充.例题1 .设函数/(x) = InXYI , (x) = (x2-l)-

2、.(I )判断函数)=/(x)零点的个数，并说明理由；(2 )记MX) = g(x)7(x) +与资,讨论MX)的单调性；(3 )若f(x)0时，MX)在(o,忐递减，在2【解析】1 e(I)由题意得：o , .r()=+3,故/(力在(0,也)递增；又“)= ,X e/(e) = l-e,-e = l-JO ,故函数y = (x)在(Le)内存在零点，y = (x)的零点个数是1 ;(2 )h(x) = a(x2 -1)- - -Inx + e,x+ = ax2 -a-nx f(x) = 2v-= -(x O), XXe 当 0时，”（x）0 , MX）在（0,也）递减,当。0时，由（） =

3、 o,解得：aJ=（舍取负值）, 7 士。x(,fj时，z(x)l 时，Ma) 0 , K(X)在(L+)递增，K(X)K(1) = O,即 M6o,若0 ,由于Ql ,故InXg(x),即当/(x)Vg(X)在(1，”)侬立时，必有。0 ,当。0时，设力(x) = (Y1)一InX ,由（2）彳导（l,宣），（“递减，,M力递若忐1 ,即 ,即的”=看，使彳导/G)g(),故O0 ,即,故一/匚，rrLL ,/ ill X? - 2 +1 (X 1)因此S(X)X +-T;=-_7-0，XXX Xx故Sa)在(Lyo)递增,故Sa)s=0,即。舄时，Vga)在a，KC)恒成立, 综上，ae

4、；，+8)时，/(x)l .【解析】22证明：(x) = elnx + qei ,从而人)1 等价于工lnxxe- .设函数g(x) = xnx ,贝Jgx) = l + lnx ,所以当不()()时，g(x)().故g(x)在(咱上单调递减，在g上单调递增，从而K(X)在(0,y)上的最小值为“力=-(设函数MX) = Xe-1厕”(力= e-x(lr).所以当xw(O,l)时，(0 ；当XW(I,”)时，r(x)0 时，g(x)M%),即/(x)l .3.设函数/(力= InX.(1)当。=-2时，求6的极值;(2)当。=1时，证明：/(x)-9 + xO在(0,+e)上恒成立.【答案】(

5、1 ) x)极大值为M2-3 ,无极小值；(2)见解析.【解析】(1 )当。二一2时，/(x) = InX2x , r( + Jl), + l), X7 X X2X2当XW(0,2)时，r(x)O ;当X(2,x)时，,(x)-7 ,即证XInX+ l-7 ,设g(x) = xlnx+l ,则g(x) = l + lnx ,在(0，)上,g()0 , g(x)是增函数.所以g()gg) = 3,设力(力=卷，贝必(力=,，在(0,1)上,hl(x)o l /)是增函数；在(1,)上，hf()o , (力是减函数，11所以g)l) = -l，所以(X)g(x) ，BP 0 , gpinx + -O ,即/(x)- + x0在(。,+上恒成立.针对训练1 .设函数/(x) = , gM = nx + b ,其中,6R 是自然对数的底数(1 )设尸(X)=Va),当 =当时,求尸(X)的最小值;(2 )证明：当 = / ,b -7时，证明：fM4gb. e2 .设函数 f ( X ) =lnx+0.5ax2+x+i .(1) a= - 2时，求函数f(x)的极值点；( )当a=0时，证明xexf ( X )在(0 , +8 )上恒成立.3 .已知函数 f(x) = ei-ln(x+).当 = g时，求/S)的单调区间与极值； (2)当4,1 时，证明:/U)0.