隐零点设而不求 （解析版）.docx

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1、隐零点设而不求隐零点设而不求 专题阐述：隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断 单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功，如果尝试在 导数压轴大题上争取更高的分数，则隐零点问题必须熟练掌握.规律方法 隐零点问题的出题特征较为明显，在参数范围的题目中所求的参数经常为整数，因为利 用此类方法求出的最值通常是一个范围，当然也不排除有些题目设计较为巧妙，在求最 值时的未知零点可以约分成一个具体的数字.例题1 .设函数八力二。 一一2 .(I )求函数/U) = -办-2的图象在点A(O,T)处的切线方程;(II )求/ W的单调区间； (In)若 =

2、 l ,k为整数，且当xO时，(xd)(x)+x+lO ,求k的最大值.【解析】(I ) /(x) = ev-0r-2 , xR , f,(x) = ex-a , xR , ff() = l-a ,函数/(X) = e-ar-2的图象在点A(OI)处的切线方程为y = (l-)x-l .(II ) f,(x) = er-a , xR .若O ,则/(力0恒成立，所以，力在区间(Yo，”)上单调递增.若a0 t 则当xw(-,lnQ)时,(x)O f所以，外”在区间(YUna)上单调递减，在(hw,Ho)上单调递增.(III)由于。=1 ,所以,(XT)由(x)+l = (x-0 时，(x-2)

3、(x) + x + l0 女 VU+ x(xO).令&(，)=弁+，则,(H=冷m+J半营1.e -1(e T) (e -1)函数MX) = dr-2在(O,+8)上单调递增,而0 .所以MX)在(o,y)上存在唯一的零点，故g()在(o,y)上存在唯一的零点.设此零点为 ,则e(l,2).当XE(O,a)时,(x)0 ;所以g(x)在(0,+功上的最小值为8(。).由/(a) =。，可得产=2 ,所以g() = + l(2,3).由于式等价于& 0恒成立.【解析】(1)-ft() = e 一一 , =o是/()的极值点，. r(o) = =o ,解得加=1 . x+mm，函数/(6=eTn(

4、x+l),其定义域为(T,) . V(x) = e- ,设g(x) = e*-J7 ,贝IJgM) = e+y7M , g(x)在(T,+)上为增函数，X +1IX + IJ又g(0) = 0 ,当“0时，屋力0 ,即r()o ；当-IVXVO时,g(x)v , r(x)O .，f(x)在(TO)上为减函数；在(0，+8)上为增函数.(2)证明：(x) = /(x)- + ln(2-x) = er-ln(x+/n)-er + ln(2-x),; g(x) = /(X)-e- + ln(2r)为奇函数，.*.g(x)+g(-x) = e* - In (x+/W)-ex + In (2-x)+ex

5、 - In (-x+w) -er In (2+x)=0 ,gpln(2-x)ln(2 + x) = ln(x+n) + ln(w-x),解彳导? = 2 ,(x) = e-ln(x+2),则广(力=已,一脸在(-2,同上单调递增，VX-1)0 ,/(尤)=0在(-2,y0)存在唯一实数根.%,且毛-1,0), 当x(-2,%)时，r(x)0 f当x = /时，函数取得最小值，W= 六，即0=Tn(2+0), (x)(x0) = e,h-ln(2 + ) = -!+ =-0 , (x)0 .3 . B0S8ft() = -2()lnxx2-2tr-22+ ,其中O .(I )设g(x)是力的导函

6、数，讨论g()的单调性;( )证明：存在。0)，使得/(”0在区间(L+oo)内恒成立，且/(x) = 0在区间(1,+CO)内有唯一解.【解析】(I )由已知,函数/(x)的定义域为(0,+8),g(x) = r(x) = 2()-211-2(1+5，.2L.lY+2L,n如)=2二 + 与 J 2)( .X X2X2当。3；时，g(x)在P哼可，件严，+上单调递增， Z Z在区间上手M，匕亭亚上单调递减；当;时，g()在(o,y)上单调递增.(II )由广(刈=2(工一。)一21口一2(1+0) = 0 ,解得丁丁 , X /1X人 / J X-I - InX, JX-I-InR JX-I

7、-InxY x-1-lnx令)=邛+下丁卜 ET-F7m-rm +7，则9= lO(e) =-芈-2(然0 .故存在0w(l,e),使得姒o) = 0 .令/, w(x) = x-l-lnx(xl),由/(x) = l,0知，函数“6)在(l,+) I 十oX上单调递增. w(xfl) w(e) e-2z、0 = - = -=-r/(%) = O ；当x(,+)时，r(x)(),从而f(x)f(%) = O .，当xe(l,)时，/(x0 .综上所述存在。40)使得/(x)0在区间(1,+CO)内恒成立目力=0在区间(1,) 内有唯一解.【针对训练】1 .已知函数 f(x)=-ln(x+m)设

8、X=O是f(x)的极值点，求m ,并讨论f(x)的单调性；(2 )当 m2 时,证明 f(x)O.22 .已知函数/(x) =奴+在(T O)上有两个极值点，对与，且XVX2 .求实数的取值范围；(2)证明：当时，/)苏 .3 .已知R ,函数/(x) = e*+加,g(%)是F(X)的导函数.当。0时，求证：存在唯一的,0),使得g(%)=o ;(2)若存在实数。,b ,使得f(x)加恒成立，求方的最小值.参考答案：1 ./在(To)上是减函数；在(0,yo)上是增函数(2 )见解析fix) = * 【详解】匕十出.由X=O是f(x)的极值点得f,(O)=O ,所以m=l .尸(M=F于是

9、f(x)=ex - ln(x+l),定义域为(-1 , +) ,X 1 ./(X)= et 函数X 1在(-1 ,+8)上单调递增,且f(O)=O ,因此当X ( - 1 ,0)时，f,(x)O .所以f(x)在(-1 , 0)上单调递减，在(0 , +8)上单调递增.当 m2 , X ( - m , +)时,ln(x+m)ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x)O .,X = ex-当m=2时，函数上,2在(-2 , +8)上单调递增.又 f(l)v, f(0)0,故 f(x)=O 在(-2,+oo)上有唯一实根 W ,且七三 1四.当工y-2,XJ时，f，(x)o；当X时，f，(

10、xo,从而当“与时，f(x)取得最小值.1由 f2 , !n(w2j=-%,八邛 -f Lx) -+ 。故4+2综上,当m2时,f(x)O .2 (W)(2)证明见解析【分析】(1 )根据题意得方程2+2x+ = 0在(To)上有两不等实根,进而结合二次函数零点分布求解即可;22I(2 )根据题意得5 59 ,进而得/(占)=石+石+3 + lAgW + E+gF + l ,再构造函数比)=+f+1+,研究单调性得MX)在H，o单调递增，进而MX)*(=*(1)2解：/(%)=/+/+v+ ,，/(x) = 2x2+2x+a ,2、；函数/(x) = 3V+2+r+1在(To)上有两个极值点内

11、,修，且演0故有g(O) = aO,解得 ogg(T = + (T) + 0所以,实数的取值范围是o)(2)证明：由题意知是方程2f + 2x+ = 0的较大的根,故-别，由于O-x2 ,221(x2) = -0r2l-x2l设(X) = gxW+g + l , xe(-g,) , (x) = 2(x+；) +0 ,3)在(-；可单调递增，g)-) = ,即/5)苫成立.不等式成立证毕.3 . (1)证明见解析【分析】(1 )求出g(x),即可得到g(x)的单调性,再根据零点存在性定理判断即可；(2)分。0三种情况讨论，当0时，由(1 )可得了的最小值为/(%),则f(Xo),从而得至h-b%

12、(l + 4-+令MX) =+, x0时，g()o ,函数g(x)在(y,+)上的单调递增，又 g(5) = ef0 诙唯一的(，0),使得 g(M) = 0 .(2)解：当0时，则当x0 ,即函数/()在(y,0)上单调递增，且当XfF时，/(k)tyo ,这与/()b矛盾；当 = 0 , et /?,彳导b0 , a-hO ;当。0 ,由(1 )知当xt(-,陶时，鼠)0 ；即/W在(-8,再)上单调递减，在(%”)上单调递增，f(x)的最小值为/(与),其中K满足e+2/=0 ,故且%0 ,ZXO)4m立，(/),即一)a-N ,于是 -bN-e% =-e$ 1+-+I 2x。 2 J,记 MX) =x(.1 Xe 1 +I 2- 2，x0 ，则(x)