第07课 勾股定理逆定理（教师版）.docx

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1、第07课 勾股定理逆定理号目标导航课程标准1 .掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2 .能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3 .能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.四W知识精讲知识点01勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长, b, c,满足。2+2=。2,那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. ,知识点02如何判定一个三角形是否是直角三角

2、形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证，与片+是否具有相等关系.若02=q2+z72,则AABC是NC=90的直角三角形；若c2a2+b 则AABC不是直角三角形.注意：当。2+72时，此三角形为锐角三角形,其中C为三角形的最大边.知识点03互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的 逆命题.注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错 误的命题我们称它为假命题.知识点。4勾股数满足不定方程F +V= ?2的三个正整数,称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以* A

3、Z为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、 4、 5；5、 12、 13；8、 15、 17；7、 24、 25；9、 40、 41如果以b、。是勾股数，当方为正整数时，以“、初、。为三角形的三边长，此三角形必为直角三角 形.注意：（1） 2-1, 2n, 2+l是自然数）是直角三角形的三条边长；（2） 2 + 2, 2 + l, 2 + 2 + l （是自然数）是直角三角形的三条边长;（3） tn -n . m +n2,2mn （ mn,m、是自然数）是直角三角形的三条边长;考法Ol原命题与逆命题【典例1】写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（I）同位角相等

4、，两直线平行；（2）如果X = 2,那么/=4；（3）等腰三角形两底角相等；（4）全等三角形的对应角相等.（5）对顶角相等.（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.【分析】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题 要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可.【答案与解析】解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题.（2）逆命题是：如果V=4,那么 = 2,它是假命题.（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题.(4)逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题.(5)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角

5、是对顶角，它是假命题.(6)逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题.【点睛】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命 题，可以借助“如果那么”分清题设和结论.每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题.【即学即练】下列定理中，有逆定理的个数是()有两边相等的三角形是等腰三角形；若三角形三边, h。满足。2+=02,则该三角形是直角三角形；全等三角形对应角相等；若二少，则。2=/.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B；提示：的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；的逆命题是：若三角形是直角三

6、角形，则三 边满足+/=H (C为斜边)；但对应角相等的两个三角形不一定全等；若=，。与不一定 相等，所以、的逆命题是假命题，不可能是定理.考法02勾股定理逆定理的应用【典例2】如图所示，四边形ABCD中，ABAD, AB = 2, AD=23 , CD = 3, BC=5,求NADC的度数.【答案与解析】解：,. ABAD, .,. ZA = 90o ,在 RtABD 中，BD2= AB2 + AD2 =22 + (23)2 =16.：.BD=4,.*. AB = -BD ,可知NADB = 30 ,2在aBDC 中，BD2+CD2 =16 + 32 =25, BC2 =52 =25 f：.

7、BD2 + CD2 = BC ：. NBDC = 90。，.*. NADC = NADB+NBDC=300 +90 =120 .【点睛】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的 结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理.【即学即练】AABC三边, b, C满足/+。2+338 = 101 + 24人+ 26。，则AABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D；提示：由题意(.一5)2+(/7 12)2+(0 13)2=0, a = 5, O = I2, c = 13,因为+/=/,所以aABC为

8、直角三角形.【即学即练】如图所示，在aABC中，已知NACB = 90 , AC=BC, P是AABC内一点，且PA=3, PB=L PC=CD = 2, CDCP,求NBPC 的度数.【答案】解：连接 BD. ,. CDCP,且 CD=CP = 2,ZXCPD为等腰直角三角形，即NCPD=45 .,. ZACP+ ZBCP = ZBCP+ ZBCD=90 ,.,. NACP=NBCD. CA=CB,.,.CAPCBD (SAS),D：.DB=PA = 3.-g-3又 PB = L 则 P2=.a =BDB2 =9,：.DB2 =DP2+PB2 =S + 1 = 9,：.ZXDPB为直角三角形

9、，且NDPB = 90 , .*. ZCPB = ZCPD+ ZDPB = 45 +90 =135【典例 3】如图,已知在四边形 ABCD 中，AB=20cm, BC=15cm, CD=7cm, AD=24cm, Z ABC=90o.猜 想NA与NC关系并加以证明.【分析】连接AC,然后根据勾股定理求出AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断 ADC为Rt,然后 根据四边形的内角和定理即可得到N A与NC关系.【答案与解析】证明：猜想NA与NC关系为：Z A+Z C=180o.连结AC,*/ Z ABC=90o,在RtAABC中，由勾股定理得：ACWAB 2+BC2=25cm,/ AD2+DC2

10、=625=252=AC2,. ADC是直角三角形，且N D=90o,. Z DAB+Z B+Z BCD+Z D=360o,/. Z DAB+Z BCD=180o,即 N A+Z C= 180.【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据勾股定理的逆定理判断 ADC是 直角三角形.【即学即练】下列各组数中，全是勾股数的一组是（）A. 2, 3, 4； 6, 8, 10； 5, 12, 13B. 3, 4, 5； 10, 24, 26； 7, 24, 25C.工-1, -1； 8, 15, 17； 30, 40, 50 4 4 5D. 0.4, 1.2, 1.3； 6, 8,

11、10； 9, 40, 41【答案】B；解：A、22 +32 42,不是勾股数，此选项错误；B、32 +42 =52 , 102 +242 =262 , 72 +242 =252 ,此选项正确；C、A, A,工不是勾股数，此选项错误；4 4 5D、0.4, 1.2, 1.3不是勾股数，此选项错误;故选B.考法02勾股定理逆定理的实际应用【典例4】如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有 一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的 缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其

12、距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？N【答案与解析】解： AB2 + BC2 = 52 +122 = 169 = 132 = AC2,.,. ABC 为直角三角形.,. ZABC = 90 . 又 BDJ_AC,可设 CD= X ,. x2 + BD2=12(13-x)2+BD2=52,得X2 -169 + 26x-=119,144解得X =.(131441441316913 = 0. 85 (h) =51 m .所以走私艇最早在10时41分进入我国领海.【点睛】 （1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理

13、的运用提供了条件.fi分层提分题组A基础过关练1. ABC中，N A, N B, N C的对边分别记为a, b, c,由下列条件不能判定,ABC为直角三角形的是（）A. Z A+Z B=Z CB. Z A： Z B： Z C=I: 2： 3C. a2=c2 - b2D. a： b： c=3： 4： 6【答案】D【解析】【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可.【详解】解：A、Z A+Z B = Z C,又N A + N B + N C = 180。，则N C = 90。，是直角三角形；B、NA： NB: Z C = I: 2： 3,又 N A+/ B + /C=180,则 N

14、C = 90,是直角三角形；C、由a2 = c2-b2,得a2+b2 = c2,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+4262,不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故选：D.【点睛】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定 最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.2 .若一个直角三角形的两直角边的长为12和5,则第三边的长为（）A. 13 或? B. 13 或 15C. 13D. 15【答案】C【解析】【分析】直角三角形中斜边最长，结合已知数据，利用勾股定理可求出第三边的长.【详解】当12, 5为直角边长时，第三边长为，K?+52 =13.故第三边的长为13.故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键.3 .已知AABC的三边分别是6, 8, 10,则 ABC的面积是（）A. 24B. 30C. 40D. 48【答案】A【解析】【详解】已知AABC的三边分别为6, 10, 8,由62+82=102,即可判定 ABC是直角三角形，两直角边是6, 8,所以 ABC的面积为gx6x8=24,故选A.4 .已知工，为正数，且,24| +卜2一3/0,如果以X, y的长为直角边作一个直