第08课 勾股定理全章复习与巩固（教师版）.docx

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1、第08课 勾股定理全章复习与巩固课程标准1 .了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2 .理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3 .能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.般如识精讲知识点Ol勾股定理1 .勾股定理：直角三角形两直角边b的平方和等于斜边C的平方.(即：a2+b2=c2)2 .勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是:(1)已知直角三角形的两边，求第三边；(2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；(3)求作长度为6的线段.多、知识点02勾股定理的逆定理1 .原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的

2、结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其 中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长久b、c,满足。2+廿=，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证，与是否具有相等关系，若片+人2=。2,则AABC是以NC为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3 .勾股数满足不定方程V + y2=22的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、y、Z为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：3、4、5；5

3、、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果（小 4C）是勾股数，当t为正整数时，以必、初、。为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1 .较小的直角边为连续奇数；2 .较长的直角边与对应斜边相差1.3 .假设三个数分别为小b、c,且7GB=AE+BE,于是得证.最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作BD的垂线交于点H,在直角三角形GHB中，,. GH=CD = 800, BH=BD+DH=BD+GC=BD+AC = 200 + 400 = 600, 由勾股定理得 G2 =G2 +92 =80()2 +6002 =10

4、00000.GB=IOOO,即最短路程为IoOO米.【点睛】这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面, 证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点.本 题体现了勾股定理在实际生活中的应用.【即学即练】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E, AE = 3, EB=L在AC上有一点P,使EP+BP最 短.求EP+BP的最小值.AD【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP=DP,连接DE,交AC于P, ED=EP+DP=EP+BP, 即最短距离EP+BP也就是ED./ AE = 3, EB=L .*.

5、 AB=AE+EB = 4, AD=4,根据勾股定理得：ED2=AE2+AD2 =32+42 =25 .,. EDO, .*. ED = 5,最短距离 EP+BP = 5.【典例3】如图所示，等腰直角AABC中，ZACB = 90o , E、F为AB上两点（E左F右），且NECF = 45 求证：线段AE, BF, EF之间的数量关系.【分析】：由于NACB = 90 , ZECF = 45o ,所以NACE+NBCF = 45 ,若将NACE和NBCF合在一起则为 一特殊角45 ,于是想到将AACE旋转到ABCF的右外侧合并，或将ABCF绕C点旋转到AACE的左外侧合 并，旋转后的BF边与A

6、E边组成一个直角，联想勾股定理即可证明.【答案与解析】 解：盘+3尸二石尸,理由如下:将aBCF绕点C旋转得AACF/ ,使aBCF的BC与AC边重合,即 ACF BCF,. 在aABC 中，NACB=90 , AC=BC,.*. ZCAF, =NB=45 , ：. ZEAF, =90 .,. NECF=45 , ：. NACE+NBCF=45 .,. ZACF, =NBCF, .,. ZECF, =45 .在aECF 和 aECF/ 中：CE = CEc20t, AABC为锐角三角形；当a2+b2c20t, ABC 为钝角三角形.”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2, b=4时，最长

7、边C在什么范围内取值时，AABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？【分析】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边C点的最大值，然后得到C的取值范围，然后分情 况讨论即可得解.【答案与解析】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边=62 +82=10,aABC三边分别为6、8、9时，ABC为锐角三角形；当aABC三边分别为6、8、时，AABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2） -C为最长边,2+4=6,.,.4cc2,即 c220, 0c25,当4WcV2时，这个三角形是锐角三角形；d）a2+b2=c

8、2,即 c2=20, c=25,当c=2R时，这个三角形是直角三角形；a2+b220, c25,【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键.考法03本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问 题转化为直角三角形问题来解决.【典例5】如图所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC, D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的 点，且DELDF,若BE= 12, CF = 5.求线段EF的长.【答案与解析】解：连接 AD.因

9、为NBAC = 90 , AB=AC. 又因为AD为AABC的中线， 所以 AD=DC=DB. ADBC.且NBAD=NC=45 .因为NEDA+NADF=90。.又因为NCDF+NADF=90 .所以 NEDA=NCDF.所以AAEDZZCFD (ASA).所以 AE=FC = 5.同理：AF=BE=12.在RtaAEF中，由勾股定理得：EF2 =+AF2 = 53 +123 = B3所以 ef=13.【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线 段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.【即学即练】已知凸四边形ABCD中，ZABC = 30o , ZADC = 60o , AD=DC,求证：BD2=AB2+BC2【答案】解：将AABD绕点D顺时针