第10课 锐角三角函数（教师版）.docx

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1、第K)课锐角三角函数课程标准L结合图形理解记忆锐角三角函数定义;2 .会推算30、45。、60角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3 .理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.= 知识点Ol锐角三角函数的概念如图所示，在RtaABC中，ZC = 90o , NA所对的边BC记为a,叫做NA的对边,也叫做NB的邻边, NB所对的边AC记为b,叫做NB的对边,也是NA的邻边,直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作SinKf日 . NAB勺对边 a即 =二锐角A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作cosA,即

2、 cos A =NA的邻边=b 斜边 二Z锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作tanA,即 tan A =NAfi勺对边N渊邻边同理SinJB =NB的对边斜边COSjB =NB的邻边斜边tanB =要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段 的比值.角的度数确定时，其比值不变,角的度数变化时，比值也随之变化.(2) sinA, cosA, tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成夕n, COS A,tan j4,不能理解成sin与NA, cos与NA, tan与NA的乘积.书写时习惯上省略NA的角的记号，但对三个大

3、写字母表示成的角（如NAEF）,其正切应写成“tanNAEF，不能写成“tanAEF ；另外，（SIn4尸、（CoSd）、（tan4尸常写成SIiJ4、COS4、tan。4（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.（4）由锐角三角函数的定义知：当角度在 0 NA90 间变化时，OsnnO.至 ,知识点02特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30。、45、60角的各三角函数值，归纳如下:锐角acos atana302_, T5 345立 2_显160. 22.要点诠释：（1）通过该表可以方便地知道30、45。、60角的各三角函数值，它的另一个应用就是

4、：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 2 ,则锐角6 =45V仔细研究表中数值的规律会发现：苴更迫sm30、sm45 sm 60 的值依次为 2、 2、2 ,而cos30 cos45 CoS6T的值的顺序正好相反，tan30 tan45 tan60的值依次增大，其变化规律可以总结为：正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）.A 知识点02锐角三角函数之间的关系如图所示，在RtZABC中，ZC=90（1）互余关系：SIn / 二 cos（9 一乙4）二 c。S 8，COS 以 二 sn（90 -乙4）

5、 = sin 8 ；(2)平方关系：sn C + CeJ 己=1;(3)倒数关系：tan 力 tan(9CF -= 1 或tan / = -；/tan 3/商数关系：tan商=里空.B cco要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时 巧用这些关系式可使运算简便.二能力拓展考法Ol锐角三角函数值的求解策略【典例1】如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A, B, C都在格点上，则NABC的正切值是()A. 2B.等c4d【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案.【答案】D.【解析】解：如图：由勾股定理，

6、得_AC=2, AB=22, BC=10, ,ABC为直角三角形，JtanNB二空，AB 2故选：D.【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数.【即学即练1】在RtABC中，C = 90o,若a = 3, b = 4,则C=,SinA=， sA=， SinB=， sB =3443【答案】c= 5 , sinA= - ， sA = -, sinB = -, sB =-.5555考法02特殊角的三角函数值的计算【典例2】求下列各式的值：(1) 6tan230o - 3sin60o - 2sin45o;(2) 2sin60o - 4cos2300+sin450ta

7、n600;(3) Sin60。+匕口60。一/cos2602cos45 +tan60【答案与解析】(2)原式=&x立 -4 (立)2+返5 222=近-3+近22= 6 3 ；近原式J二+加一2 L(1) 22+32=23+3 -2(6一仞(2+3) C3 -2)=3 + 22 .【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值, 再进行化简.【即学即练2】在RSABC中，C = 90o,若NA=45 ,则NB=,SinA=, sA=, SinB=, sB =【答案】nB=45 , sinA = , cosA = , SinB = , cosB =.2

8、222考法03锐角三角函数之间的关系【典例3)已知AABC中的NA与NB满足(1 - tanA) 2+sinB - 苧=0(1)试判断AABC的形斗&_(2)求(1+sinA) 2 - 2cosB - (3+tanC) 的值.【答案与解析】_解：(1) Vl - tanA) 2+sinB - 亚 1=0,2.*. tanA= 1, sinB,2.*.NA=45, ZB=60o, ZC=180o - 45 - 60o=75o,ABC是锐角三角形；(2) VZA=45o, ZB=60o, ZC=180o - 45 - 60o=75o,原式=(1+乎)2 - 2yJl - 1_1 2【总结升华】本题

9、考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.考法04锐角三角函数的拓展探究与应用【典例4如图所示，AB是。的直径，且AB = I0, CD是。0的弦，AD与BC相交于点P, 若弦CD = 6,试求COSNAPC的值.【答案与解析】ZACP = 90 , PCDPAB,连结AC, AB是。的直径， 又. ZB = ZD, ZPAB=ZPCd,.,., PC CD PAB又 CD = 6, AB=IO,在RtZkPAC中，C“。工程二PA AB IO 5【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三 角形的性质，利用对应线段

10、成比例转换，间接地求出这个比值.锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC,由AB是。的直径得NACB = 90 ,PCPC CDcosZAPC =， PC PA 均为未知，而已知 CD = 6, AB = IO,可考虑利用PCDs2pab 得 =.PAPA AB【典例5】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定, 因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义： 等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(Sad).如图1，在aABC中，AB=AC,顶角A的正对记作SadA,这时SadA = 整=些.

11、容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的 腰 AB正对定义，解下列问题：(1)sad60o .(2)对于OVAVl80 , NA的正对值SadA的取值范围是.3(3)如图1，已知SinA=不，其中NA为锐角，试求SadA的值.【答案与解析】(1)1；(2)0sadAO,当NA接近180时，BC接近2AB,则SadA接近2但小于2,故SadAV2； (3) 将NA放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解.羔分后提分题组A基础过关练1 .如图，在RtaABC中，ZBAC=90o, ADLBC于点D,则下列结论不正确的是()C- SinB笔D SinB二1【答案】C.

12、【解析】在 RtZiABC 中，ZBAC=90o, SinB=至,BCV AD BC, .*. sinBABsinB=sin N D AC=,AC综上，只有C不正确 故选：C.2 .如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A, B, C都在格点上，则NABC的正切值是()B竿c【答案】D；【解析】如图：由勾股定理得,AC=2, AB=22, BC=10, /.ABC为直角三角形，故选：D. L I i :3 .已知锐角满足Sin250 =cos ,则a =()A. 25 B. 55 C. 65o D. 75o【答案】C；【解析】由互余角的三角函数关系，cos a = sin(90 -a), s

13、in25o -sin(90o -a),即 90o -a =25o , .*. a =654 .如图所示，直径为10的。A经过点C(0, 5)和点0(0, 0), B是y轴右侧。A优弧上一点，则NOBC的余 弦值为()ZOBC = ZODc,【答案】C；【解析】设。A交X轴于另一点D,连接CD,根据已知可以得到0C = 5, CD=IO,OD = 102-52 =53 , V5 .如图，在AABC 中，ZA=120o ， AB = 4, AC = 2,则 SinB 的值是（21120【答案】D；【解析】如图所示，过点C作CD，AB于D, ZBAC= 120o , ZCAD = 60 , 又Y AC=2, .*. AD = L CD= 3, BD=BA+AD = 5,在 RtaBCD 中，BC = D2+CD2 = 28 = 27 ,6 .在RtaABC中，ZC = 90o ,若将各边长度都扩大为原来的2倍，则N