第10课 平行四边形（教师版）.docx

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1、第10课平行四边形号目标导航课程标准1 .理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2 .能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题.3 .能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算.4 .理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.纵如识精讲燮、知识点01平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“ OkBCD ,读 作“平行四边形ABCD ” .注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的

2、两角为邻角，有四对；相对的角为对角， 有两对；对角线有两条.知识点02平行四边形的性质1 .边的性质：平行四边形两组对边平行且相等;2 .角的性质：平行四边形邻角互补,对角相等;3 .对角线性质：平行四边形的对角线互相平分;4 .平行四边形是电必对称图形，对角线的交点为对称中心.注意：(1)平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等;角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来 解决.知识点0

3、3平行四边形的判定1 .两组对边分别壬丘的四边形是平行四边形；2 .两组对边分别相笠的四边形是平行四边形；3 . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;4 .两组对角分别II笠的四边形是平行四边形；5 .对角线互相平分的四边形是平行四边形.注意：(1)这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应 选择较简单的方法.(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.知识点04三角形的中位线1 .连接三角形两边电直的线段叫做三角形的中位线.2 .定理：三角形的中位线壬立于三角形的第三边，且等于第三边的一半.注意：(1)三角形有

4、三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的每个小三角形的面积为原三角形面积的L.24(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.宅,知识点05平行线间的距离L两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的坦离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度,是正值.(2)平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积

5、=底X高；等底等高的平行四边形面积相等.Q能力拓展考法01 平行四边形的性质【典例1如图，平行四边形ABCD的周长为60c机，对角线交于0, AAOB的周长比ABOC的周长大8c机， 求AB, BC的长.CB【答案与解析】解：四边形ABCD是平行四边形.,.AB=CD, AD=BC, Ao=CO,. 二BCD的周长是60.2AB+2BC = 60, BP AB+BC = 30,又 AOB的周长比ABOC的周长大8.即(AO+OB+AB) - (BO+OC+BC) =ABBC = 8,4B-5C = 8S+3C = 30解得，AB9fBC = Il.,.AB, BC的长分别是19 Sn和IIC机

6、.【点睛】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分团DAB和mCBA,若AD=5, AP=8,贝腼APB的周长是.【解析】【详解】 试题分析：回四边形ABCD是平行四边形，团AD回CB, AB0CD,酿DAB+国CBA=I80,又团AP和BP分另IJ平分团DAB和团CBA, mPAB=DAB,团PBA=T国ABC, pab+pba=Z (团DAB+团CBA) =90o, mAPB=180o -(回PAB+团PBA) =90；团AB团CD,团团PAB二团DPA,团回DAP二团DPA,国AD=DP=5,同理

7、：PC=CB=5,BP AB=DC=DP+PC=10,在 R也APB 中，AB=10, AP=8,团BP=J祈 _ 征；=6, 1APB 的周长=6+8+10=24.考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.【即学即练2】如图，团ABCD中，AC、BD相交于点0,若AD=6, AC+BD=16,贝IJABOC的周长为.【答案】14【解析】【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；【详解】解：国四边形ABCD是平行四边形，团AD=BC=6, OA=OC, OB=OD,AC+BD=16,0OB+OC=8,丽BOC 的周长=BC+OB+OC=6+8=14,故答案

8、为14.点睛：本题考查平行四边形的性质.三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型.【即学即练3】如图，. ABCD中，AE团BC于E, AF团CD于F,若AE = 4, AF = 6,ABCD的周长为40,贝IJS四边形ABCD为.B E C【答案】48【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB = CD, AD = BC,可得AB + BC = 20,再利用其面积的求法S = BCXAE = CDxAF, 可得4AE = 6CD,列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积.【详解】解：设 BC=x, CD=y,团四边形ABCD是平行四边形，MB = CD

9、, AD = BC,团团ABCD的周长为40,回 x+y = 20,团AE = 4, AF = 6, S四边形ABCD=BCXAE = CDxAF,得方程组:x+ y=20 4x=6y回 4x = 6y,解得:国S 平行四边形 ABCD = BCXAE = I2x4=48.故答案为：48.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得 到方程，再解方程组即可.【即学即练4】如图，在ABCD中，BE平分团ABC, BC=6, DE=2,贝U口 ABCD的周长等于.【答案】20【解析】【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE团BC,根据平

10、行线的性质和角平分线的性质可得出国ABE=国AEB,继而 可得AB=AE,然后根据已知可求得结果.【详解】解：团四边形ABCD为平行四边形，团AE团BC, AD=BC,MAEB=SEBc,国BE平分回ABC,丽ABE二回EBC,团团ABE二团AEB,国 AB=AE,0AE+DE=AD=BC=6,AE+2=6,0AE=4,团AB=CD=4,团口ABCD 的周长=4+4+6+6=20,故答案为20.考点：平行四边形的性质.【即学即练5】已知：在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F, Saoe=3, Sbof=5,贝gABCD 的面积是.【解析】【详解】

11、分析：利用平行四边形的性质可证明AAOF酿CoE,所以可得ACOE的面积为3,进而可得ABOC的面积为8, 又因为ABOC的面积=I囱ABCD的面积，进而可得问题答案.详解：国四边形ABCD是平行四边形，团AD团BC,团回EAC二团BCA,国AEF=RCFE,XtEAO=CO,在2kA0E与ACOF中ZEAc=ZBCA ZAEF=ZCFeAO=COmA0EmFmEF的面积为3,Sbof=5,MBOC的面积为8,MBOC的面积=L团ABCD的面积, 4甑ABCD的面积=4x8=32,故答案为32.点睛：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：平行四边形的对边 相等且平

12、行，全等三角形的对应边、对应角分别相等.【即学即练6】如图，ABCD与DCFE的周长相等，且团BAD=60。，0F=llOo,贝峋DAE的度数为.【答案】25【解析】【详解】团ABCD与DCFE的周长相等，且有公共边CD,回AD = DE, ADE=0BCF = 60 + 70 = 130.团 ZDAE = ； (180 - ZADE) = ； x 50。= 25。.【即学即练7】如果一个平行四边形的一边长是8, 一条对角线长是6,那么它的另一条对角线的长相的取 值范围是.【答案】10m22【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，那么一边是8,另两边是3和组成的三角形，结合三角形的三边

13、关 系，求得相应范围即可.【详解】解：由题意得：8-38 + 3,2国 ICIVmV22.故答案为：10m22.【点睛】此题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系的综合运用，有关对角线范围的题，应联系三角形两边之和、差与第三边关系知识点来解决.【即学即练8若以4L2), (-l,O), C(2,0)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点坐标为.【答案】(- 2, 2)或(4, 2)或(0, - 2)【解析】【分析】知道A, B, C三点的坐标，根据平行四边形两组对边分别平行可得D点的坐标.【详解】解：根据平行四边形的两组对边分别平行，可得D点有三种情况，所以D点坐标为(- 2, 2)或(4,

14、 2)或(0, - 2).故答案是(- 2, 2)或(4, 2)或(0, - 2).【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质.根据平行四边形的性质，结合坐标画出图形，找出D点坐标的三种情况.【即学即练9】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE,已知AE是NDAB的平分 线，BE是NCBA的平分线.(1)求证：AEXBE；(2)若AE=3, BE=2,求平行四边形ABCD的面积.B【答案】解：（1） ,四边形ABCD是平行四边形,.*.ZABC+ZBAD=180o ,VBE, AE 分另IJ平分NABC 和NBAD,.*.ZABE+ZBAE=- 180o =90 , 2.*.ZAEB=90o ,即 AEBE;(2) VAEXBEJ Smbe=AE X BE 2=3, 平行四边形ABCD的面积=2Smbe=6.考法02平行四边形的判定【典例2】已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ. 求证：四边形PBQD是平行四边形.P【分析】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明.【答案与解析】证明：连接BD交AC与。点， 四边形ABCD是平行四边形，.AO=CO, BO=DO,XVAP=CQ,.AP+AO