第10课 实数全章复习与巩固（教师版）.docx

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1、第K）课 实数全章复习与巩固号目标导航课程标准1 .了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2 .了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会 用计算器求平方根和立方根.3 .了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数 的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4 .能用有理数估计一个无理数的大致范围.战,知识精琼； ,知识点。1平方根和立方根算术平方根平方根立方根定义若正数X, =,正数X叫做 a的算术平方根,X = a o若数X, V=Q,数X

2、叫做 a的平方根,X = 土而3若数X, X =a,数X叫做a的立方根,X=也。a的范围a0a0a是任意数表示G (根号a)士& （正负根号a）四（三次根号a）正数有一个算术平方根,是正数正数有两个平方根，它们互 为相反数正数有二个立方根，是正 数。的算术平方根是Q0的平方根是00的立方根是Q负数没有算术平方根负数没有平方根负数有二个立方根，是负 数性质J 4 0 J7()双重非负性= -a=同(6) =(0)= a(J) = a被开方数的小数点向右（左）每 移动两位，算术平方根的小数点 向右（左）移动一位。被开方数小数点向右（左） 每移动三位，立方根的小 数点向右（左）移动一位。； ,知识点

3、。2实数有理数和无理数统称为实数.1 .实数的分类按定义分：、有理数：有限小数或无限循环小数实数4无理数：无限不循环小数按与O的大小关系分：正数正有理数正无理数负数负有理数负无理数注意：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统 称有理数，无限不循环小数叫做无理数.（2）无理数分成三类：开方开不尽的数,如、6，次等；有特殊意义的数，如兀；有特定结构的数，如0. 1010010001（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.(4)实数和数轴上点是对应的.2 .实数与数轴上的点对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，

4、反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3 .实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：(1)任何一个实数”的绝对值是非负数，即IalN 0；(2)任何一个实数”的平方是非负数，即/No；(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即GO (10).非负数具有以下性质：(1)非负数有最小值零；(2)有限个非负数之和仍是非负数；(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.4 .实数的运算：数的相反数是一；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运

5、算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除, 最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5 .实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2.正数大于0, 0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.考法Ol【典例I】下列说法错误的是()A. 5是25的算术平方根C. -1没有平方根【答案】B【解析】平方根与算数平方根的定义8. 1的立方根是1D. 0的平方根与算术平方根都是0【分析】根据算术平

6、方根和平方根及立方根的定义逐一求解可得.【详解】解：A.5是25的算术平方根，此选项说法正确；B.1的立方根是1,此选项说法错误；C.-1没有平方根，此选项说法正确；D.0的平方根与算术平方根都是0,此选项说法正确；故选B.【点睛】本题主要考查立方根、平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根及立方根的定义.【即学即练】16的平方根是,算术平方根是.【答案】 44【解析】【详解】 42=16, (-4)2=16, 16的平方根为4；算术平方根为4.故答案为4, 4.【即学即练】若&的平方根是4,则.【答案】256【解析】【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可求解.【详解】解：

7、C的平方根是4, ya = 16 ,a = 256,故答案为：256.【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根与算术平方根的定义：如果()2=人仅0),那么士。就叫做。的平方根，如果对于两个正数有4=则是。的算术平方根.【即学即练】(1) 52的平方根是；(2) (-5)2的平方根是,算术平方根是；(3) 一的平方根是,算术平方根是；(4) (x + 2)2的平方根是,算术平方根是.【答案1555 x IH(x + 2)x + 2【解析】【分析】分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可.平方根的定义：一个数X的平方等于这个数X叫的平方根；算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，

8、即为这个数的算术平方根.【详解】(1) 52的平方根是5；(2) (-5)2的平方根是5,算术平方根是5；(3) f的平方根是x,算术平方根是_冈_；(4) (x + 2)2的平方根是士(x + 2)_,算术平方根是x + 2|_.故答案为：(1) 5； (2) 5, 5 (3) x, |x|； (4) (%+2),卜+2|【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义，解题注意：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正值为 算术平方根.【即学即练】填空：(1) 一个数的平方等于它本身，这个数是; 一个数的平方根等于它本身，这个数是;个数的算术平方根等于它本身，这个数是.(2) 一个数的立方等于

9、它本身，这个数是; 一个数的立方根等于它本身，这个数是.【答案】。或1 O O或1 。或1 。或士1【解析】【分析】平方表示两个相同因数的相乘；平方根，又叫二次方根，一个正数有两个实数平方根，它们互为相反数， 负数没有平方根；正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根；立方表示指数为3的乘方运算即表示三个相同数的乘积；如果一个数的立方等于。，那么这个数叫的立方 根，也称为三次方根.也就是说，如果/=，那么X叫做的立方根.根据特殊数的平方、平方根、算术平方根、立方、立方根，对各空填写即可.【详解】解：(1) 一个数的平方等于它本身，这个数是O或L一个数的平方根等于

10、它本身，这个数是0;一个数的算术平方根等于它本身，这个数是。或1;(2) 一个数的立方等于它本身，这个数是。或士1；一个数的立方根等于它本身，这个数是。或1.故答案为：0，1; 0；。或1；。或士1；。或1【点睛】本题是对平方，平方根，算术平方根，立方根的考查，熟记一些特殊数的性质是解题的关键.考法02平方根的性质【典例2】已知一个正数的平方根是3x 2和-5x+6,则这个数是【答案】16【解析】【分析】根据平方根的概念可得标-2 + (-5x+6) = 0,然后求解即可.【详解】解：一个正数的平方根是3-2和-5x+6,.,.3%2+(5x+6)= 0,解得：x = 2,这个数是(3x2-2

11、)2=16；故答案为16.【点睛】本题主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟练掌握平方根及一元一次方程的解法是解题的关键.【即学即练】若2+1和是数根的平方根，则根的值为一.【答案】25或225【解析】【分析】由题意易知2+l+-7=0,然后求解。的值，进而问题可求解.【详解】解：.2o+l和7是数根的平方根，. 2a+l+-7=0 或 2a+l=a-7,解得：。=2或。=8,/.根= (2x2 + lf =25或 m=225;故答案为25或225.【点睛】本题主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟练掌握平方根及一元一次方程的解法是解题的关键.【即学即练】若4+l的平方根是5,则1的算术平方根

12、是.【答案】6【解析】【详解】略考法03算数平方根的性质【典例 3】x+2 +Jz-l + (2y-8) 2 = 0,贝J x+y+z=.【答案】3【解析】【分析】由绝对值与算术平方根、平方的非负性解得x=2, Z=L卢4,即可计算x+y+z的值.【详解】解：根据题意得，x+2=0, z-l=0, 2y - 8=0解得 x=-2, z=l, y=4,所以 x+y+z=-2+4+l=3故答案为：3.【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值与算术平方根、平方的非负性，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.【典例4】被开方数每扩大IOO倍，其算术平方根就扩大 倍.【答案】10【解析】略考法04解方程

13、【典例5】解方程：X2-169 = 0【答案】%1 =13,%2 =-13【解析】【分析】根据平方根的定义解方程即可.【详解】X2-169 = 0必=169.,. xi 13, x2 = 13【点睛】本题考查了根据平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键.平方根：如果一个数的平方等于那么这个数就叫Q的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根.【即学即练】求方程中X的值（X-I） 2 -16 = 0【答案】x = 5或 = -3【解析】【分析】根据平方根的定义解方程即可，平方根：如果/=，则X叫做。的平方根，记作而（称为被开方数）【详解】解：（X - 1） 2 -16 = 0x-l =

14、y16 二. 11 = 4 或九一I 二 T解得 = 5或无=一3【点睛】本题考查了根据平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键.【即学即练】求下列式子中的X值：4 (l+x) 2=49.59【答案【解析】【分析】利用平方根解方程即可得.【详解】 解：4(1+ X)2= 49, (1+4=弓，47 、7l + x = 或 1 + % =,225 -9X = -(iX=-, 22【点睛】 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题关键.考法05立方根【典例6(1) 一般地，如果,那么这个数叫做。的立方根或;数。的立方根记为 ：在 ya 中，a 是, 3 是；(2)正数的立方根是;负数的立方根是; 0的立方根是. 都有立方根.【答案】(1) 一个数的立方等于，三次方根，而， 被开方数，根指数；(2)正数， 负数， 0； 任何一个数【解析】【分析】根据立方根的概念可得答案.【详解】一般地，如果一个数的立方