第14课 实际问题与二次函数（教师版）.docx

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1、第14课实际问题与二次函数课程标准(1)能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问 题的最大(小)值，提高解决问题的能力。(2)通过求最大面积、最大利润等问题，体会二次函数是一类解决最优化问题的数学模型。般:知识精讲知识点Ol列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示 量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即 函数关系).(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变

2、量，同时还要注意所设变量的单位要准确.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数.(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案.(6)写出答案.知识点02建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题.【注意】利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公 式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数

3、的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要 注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：首先必须了解二次函数的基本性质；学会从实际问题中建立二次函数的模型；借助二次函数的性质来解决实际问题.知识点03利用二次函数求图形面积的最值问题一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。求矩形的最大面积时，通常用含有自变量X的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于X 的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自 变量的取值范围。知识点04利用二次函数求最大利润

4、问题（1）利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点。对于这类问题，只要审清题 意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。每件的利润=销售单价-成本单价；总利润=总销售价-总成本价=每件利润X销售量。（2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；用含自变量的代数式表示销售商品的成本；用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。知识点05利用二次函数解决抛物线型建筑物问题这类问题所给的

5、问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造二次承数的表 达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想。1 . 一般解题思路在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。（2）根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。2 .卡车过拱桥（隧道）问题在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表 达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过：固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于已知X的值，根据函数表达式求y的值

6、，然后与限制的高的 值比较大小）；（2）固定卡车的高，看桥是否足够宽（即相当于已知y的值，根据函数表达式求X的值，然后与限制的宽的 值比较大小）U能力拓展考法Ol求几何图形面积的最值【典例1】如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个 花园的最大面积是（）ADBCA. 18m2B. 12 m2C. 16 m2D. 22 m2【答案】A【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm,则这个花园的面积是：S=x （12-2x） = -2x2 +12x = -2（x-3）2+18,当x=3时，S取得最大值，此时S=18,故选：A.【即学即练】如图，四边形ABc

7、D中，ACLBD,若AC+BD = 12,则四边形ABCD的面积最大值为（）【答案】B【详解】如图，设AC、BD交于点M设 AC = XAC+SD = 12/. BD = 12-xIll11四边形 ABCD的面积 SDA+ Sdbd=53D3+5BDCM=2BO(AM + CM) = 53DAC = 5%(12-x)即四边形ABeD的面积=f + 6x =(x6)2+1822当x = 6时，四边形ABcD的面积最大，最大为18.故选：B.【典例2如图，在平面直角坐标系XQy中，直线) =丘(左为常数)与抛物线y = g/2交于A、B两点, 且点A在y轴左侧，点P的坐标为(0,-4),连接PA,

8、 PB,则R4B面积的最小值为()A. 26B. 46C. 43D. 6【答案】Bv = J_ x2 _ 21【详解】解：设 A(m,km),B,kn),联立广 3, -x2-2 = kx,即6 = 0,y = kx3由根与系数的关系得根+ = 3匕根 = -6.S Ab =Sao + Sbo =OP(-m) + OP = 2(- m) = 2(m+)2-4m = 29P24 ,.当左=0时，R4B的面积最小，最小面积为2后=4痛.故选：B.【即学即练】如果一个矩形的周长与面积的差是定值机(2相4),我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，7在矩形ABcD中，AB = x, AD=y , 2(x

9、+y)-盯=天 那么这个“定差值矩形”的对角线AC的长的最小【答案】C【详解】解：Y在矩形ABCD中，/5 = 90。，BCAD=y, AB = x,.*. AC2 =AB2 +BC2,.*. AC2 =x + y2 = (x+ j)2 -Ixy ,7* 2(x+y)-xy =, 孙= 2(x+y)-5 ,AC*2 = %2 + J = (% + y) ry = (X + y) 4(% + y) + 7 = (% + _y 2)+ 3 ,当x+y = 2时，AC2=3,二AC有最小值为石(取正值)，故选：C.考法02利用二次函数解最大利润问题【典例3】某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若

10、以每件X元出售，可卖出(100x)件.若想获 得最大利润，则定价X应为()A. 35 元B. 45 元C. 55 元D. 65 元【答案】D【详解】解：设所获得的利润为W,由题意得 W = (X - 30)(100- x) = IOO% - 3000-x2 + 30x = -(x-65)2 + 1225,V-1O,当x = 65时，W有最大值1225,故选D.【即学即练】某商品的利润y (元)与售价X (元)之间的函数关系式为y=-/+81+9,且售价X的范围是 lx3,则最大利润是()A. 16 元B. 21 元C. 24 元D. 25 元【答案】C【详解】解：y=-x2+8x+9=- (X

11、-4) 2+25,Va=-KO,利润y有最大值，当xV4时，y随X的增大而增大，售价X的范围是lx3,.,当=3时，最大利润y是24元，故选：C.【典例4】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是()A.销售单价降低15元时，每天获得利润最大B.每天的最大利润为1250元C.若销售单价降低10元，每天的利润为1200元D.若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了 5元【答案】D【详解】因为每降低5元，每天可多售出10件，所以每降价1元可多售2件，设每件降价X元，每天的利润为y元，则每天可售(20+2x

12、)件，每件利润为40-X,所以每天的利润为 J = (20 + 2x) (40 - X)= - 2x2 + 60x + 800将 y = -2+60x + 800 整理成顶点式有 y = 2(%15了 +1250 ,由顶点式可知当销售单价降低15元时，每天获得利润最大，每天的最大利润为1250元，故A、B正确；将x=10代入到解析式中解得y=1200,故C正确；令y=1050,则1050 = -2(%-15)+1250,解得=5,=25,即当每天的利润为1050元,则销售单价可能 降低了 5元，也可能降低了 25元，所以D错误；综上所述，答案选D.【即学即练】某公司销售一种藜麦，成本价为30元

13、/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千 克.当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克.设当日销售单价为X (元/千克)(x30,且X 是按0.5的倍数上涨)，当日销售量为丁(千克).有下列说法：当 X = 36 时，) = 42。与X之间的函数关系式为 =-30x + 1500若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克其中正确的是()A.B.C.D.【答案】B【详解】当x = 36时， = 450 15x2 = 420,故正确；由题意得：y = 450-(x-35)152 = -30x+15

14、00,故正确；日销售利润为 w = y (% 30)= (3Cu + 1500)(1 - 30),由题意得：(-30x+1500)(x-30) = 2880,整理得：x2-80x + 1596 = 0,解得：x1 =42, =38,销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，% = 42不合题意，即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故错误；由上问可知：w=y(x-30) = (-30x +150O)(X-30),即 W = -30x2 + 2400X - 45000 = -3(x2-8x+l500)= -30 (X - 40)2 + 3000 ,V-300,当x = 40时，W最大值二3。，即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故正确;故正确的是;故答案选B.考法03利用二次函数解拱桥问题【典例5】如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB= 1.6m,涵洞顶点O与水面的距离CO是2m,则当水位上升1.5m时，水面的宽度为A. 0.4mB. 0.6mC. 0.8mD. Im【答案】C【详解】解：建立如图所示的坐标系:设函数关系式为y = 2,由题意得：A().8,-2),2 = 0.8x0.8x1,25 解得：?O25当 y=-0.5 时