第4课 图形的相似和比例线段（教师版）.docx

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1、第4课 图形的相似和比例线段号目标导航课程标准1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似;2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等, 对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用 性质进行相关的计算，提高推理能力.= 知识点。1比例线段1 .线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段2、5长度分别是限77,那么就说这两条线段的比是2 5口： 77 ,或一一 Q m写成: =一.b n2 .成比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如

2、果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如a:b=c:d, 我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.3 .比例的基本性质：(1)若 a: tc d ,则 ad=bc(2)若a:b=b:c ，则b? =ac (5称为a、C的比例中项).； ,知识点。2相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(SimiIar figures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形;(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等;Af 知识点03相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等,我们就说它们是

3、相似多边形. 要点诠释：(1)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质.(2)相似多边形对应边的比称为相似比.考法Ol 比例线段【典例1】求证：如果色=,那么竺2 = S1U. b d b d【思路点拨】这是比例的合比性质，利用等式的性质得到证明.【答案与解析】b d在等式两边同加上1, c+d a-b _c-da _b c d.- + 1 = + 1, b d _ c + d b d【总结升华】比例有合比性质如果q=工， b d分比性质如果g=, b d更比性质如果2= b d【即学即练1】如果那么史型的值是()y 3 y【答案】B；提示：T2,纪工”二工故选B.y 3 y 3 3考法02

4、相似图形【典例2如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？【答案与解析】从我们日常生活的直观经验中可以得出结论.两个四边形对应边成比例，这两个四边形不 一定相似，如下图，边长是6的正方形和边长是2的菱形，它们对应边之比都是3,但它们形状并不一样, 因而也不相似.6【总结升华】多边形的相似要满足两个条件：（1）对应角相等，（2）对应边的比相等.【即学即练2】下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的 边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）考法02相似多边形【典例3 一个矩形ABCD的较短边长为2.（1）如

5、图，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图，已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相 似，求余下矩形EFDC的面积. 【答案与解析】解：（1）由已知得MN=AB=2, Md=Aad=Ibc,22沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，矩形DMNC与矩形ABCD相似，理二蚂AB BC：DMBC=ABMN,即BC2=4,2_. BC=22,即它的另一边长为22;（2） 矩形EFDC与原矩形ABCD相似，. DF=CD,AB BC,.AB=CD=2, BC=4,. DF=ABS=,BC.矩形 EFDC 的面积=CDDF=2l=2.【总

6、结升华】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等.【即学即练31等腰梯形ABCD与等腰梯形43Cz）相似，4 = 650 AB=Scm. 48=6c冽，AD = 5c求出/rZT的长及梯形4BCZ各角的度数【答案】,等腰梯形力3。Q与等腰梯形43CZ）相似2= = 65,AB _ AD 8 _ 5百=初Z =而AfDt = cm4Z =/8=65o, Z = Zt = 180o- 65= 115【典例4】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小 路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.【思路点拨】四边形相

7、似要满足角对应相等，边对应成比例.【答案与解析】设小路宽为X米，则小路的外边缘围成的矩形的长为（20+2x）米，宽为（10+2x）米，将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为一。一=上一,20 + 2X 10x而宽的比为 1=，10 + 2X 5很明显一 = /_,10 +X 5x所以做不到.【总结升华】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与 原来矩形一定不相似.因为2W牛（以A C都是正数）.羔分后提分题组A基础过关练一.选择题1 .在比例尺为1 ： 1 000 OOO的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为（）A. 3 km B. 30 km C.

8、 300 km D. 3 000 km【答案】B【解析】图上距离：实际距离=Ll 000 000.2.若 3a=2b,则心的值为（A.2B.C.D.3【答案】A【解析】V3a=2b,b3设 a=2k,则 b=3k,.ctb 2k 3k则=a故选A.2k3.已知AABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm, 4DEF的一边长为4cm,当aDEF的另两边的长是 下列哪一组时，这两个三角形相似（）A. 2cm, 3cmB. 4cm, 5cm C. 5cm, 6cm D. 6cm, 7cm【答案】c【解析】设aDEF的另两边的长分别为XCm, ycm,因为aABC与aDEF相似，所以有下列几种情况

9、:当2=2L=2,6 7 5 9当刍=E = I时,7.5 6 9当.士时,9 6 7 5解得X - 5, 7=6；到/日 】624斛得 X = y =；OIQ解得X = -, y =；所以选C.332 54. ABC与4ABC相似且相似比为一，4ABC与aAzB2C2相似且相似比为一，则AABC与aAzBzC2的相似3 4比为（）【答案】A2 5【解析】 相似比AB ： AiBi=-, AiB1 ： A2B2=-，计算出AB ： A2B2.3 45 .下列两个图形： 两个等腰三角形； 两个直角三角形； 两个正方形； 两个矩形； 两个菱形； 两个正五边形.其中一定相似的有（）A. 2组 B.

10、3组 C. 4组 D. 5组【答案】A【解析】只有两个正方形和正五边形相似.6 .一个钢筋三角架三边长分别是20cm, 50cm, 60cm,现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm, 50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法 有（）A. 一种 B.两种 C.三种 D.四种【答案】B题组B能力提升练7 .在一张比例尺为1： 5 OOO OOO的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为. 【答案】350千米.【解析】设甲、乙两地的实际距离为XnIm,1： 5000000=70： X,解得 x=350000000.3500000

11、00mm=350千米. 即甲乙两地的实际距离为350千米.8 . 4ABC的三条边长分别为贝、2、J历，4A B C的两边长分别为1和石，且aABC与aA B L相似，那么AA B L的第三边长为【答案】&【解析】提示：A屋Cf已知两边之比为1：石，在AABC中找出两边血、J历，它们长度之比也为1：括，根据相似三角形对应边的对应关系，求出相似比.AE9 .如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB,若AD=3, BC=4,则 =BE【答案】4a 口 FF【解析】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB,所以=,P EF=23,EF BC所以任=经=2=走.BE EF 23210 .已知若母二I,贝J=；若

12、5%-4=0,贝IJ X ： J=_.V 4 y一7 4【答案】4 511 .如图：AB:BC=,AB:CD=, BC:DE=, AC:CD=, CD:DE=.a b c DE【答案】1:3;1:2;1:2;2:1;1:3.12 .用一个放大镜看一个四边形ABCD,若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论放大后的NB 是原来NB的10倍；两个四边形的对应边相等；两个四边形的对应角相等，则正确的有.【答案】题组C培优拔尖练ahcd13 .如果=k , 一次函数y = 履+根经过点（T,2）,b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c求此一次函数解析式.b+c+d a+c+d a+b+d

13、a+b+cabc ，d i：.+1=+1=+1=+1=+1b+c+da+c+da+b+da+b+ca+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+d 1 Y.,.=+1b+c+d a+c+da+b+da+b+c贝U分两种情况：(1) a+b+c+d=O, P+1=O, k=-l(2) b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c,即 a=b=c=d,则左=13所以当k=1,过点(-1,2)时，y=-x+l117当左二一，过点(-1, 2)时，y=-x+-.33314.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD,线段EF=IO,在EF上取一点M,分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、 MFGN

14、,使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x,当X为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大 值是多少？【解析】矩形MFGN与矩形ABCD相似MN _ MF又YAB = 2AD, MN=X:.MF = 2x：. EM = EF-MF = G-2x；.S=X(Io-2x) = -2/+10x = -2(x-；) +y525当 = 3时，S有最大值，为2.2215.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.【解析】根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解.设原矩形的长为X,宽为y,则剩下矩形的长为y,宽为x-y由题意，得土 = -即2 = 1, y -y X y 令=一则一 = Q-I .q2-q-1 = 0, J QlJ(T)-41x(-l) 15：.a= 丫=212 .(又。0),原矩形的长与宽之比为二 =匕走.