第1课 反比例函数（教师版）.docx

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1、第1课反比例函数号目标导航课程标准L理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式.2 .能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质.3 .会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质.4 .会解决一次函数和反比例函数有关的问题.芯笈知识精讲知识点Ol反比例函数的定义k一般地，形如y =(左为常数，左0)的函数称为反比例函数，其中X是自变量，y是函数，自变 X量X的取值范围是不等于O的一切实数.要点诠释：(1)在y =A中，自变量X是分式8的分母,当X = O时,分式8无意义,所以自变量X的取值范围是在, XXX函数y的取值范围是

2、yo.故函数图象与X轴、y轴无交点.(2) y = (匕w)可以写成注上与HO)的形式,自变量X的指数是二1，在解决有关自变量指数问 题时应特别注意系数上MD这一条件.(3) y = - GWO)也可以写成Xy = 4的形式,用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数左，从而得到 X反比例函数的解析式.骞、知识点02确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y = K中，只有一个待定系数左，因此只需要知道一对X、y的对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出左的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：(1)设所求的反比例函数为：y = -

3、(ZrO);（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程;（3）解方程求出待定系数左的值；（4）把求得的左值代回所设的函数关系式 ） =人 中.知识点03反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;反 比例函数的图象关于原点对称，永远不会与X轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点（, b）在反比例函数y = K的图象上，则点（-a,-）也在此图象上,所以反比例函数的图象关 X于原点对称；（2）在反比例函数=七（左为常数，k0）中，由于XWo且yfO,所以两个

4、分支都无限接近但永远不 X能达至IJX轴和y轴.2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序 连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐 标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由左的符号决定的：当上0时，两支曲线分别位于第一、三象限内， 当左0时，两支曲线

5、分别位于第二、四象限内.3、反比例函数的性质（1）如图1,当左o时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,在每个象限内，y值随X值的增 大而减小;（2）如图2,当左o时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限,在每个象限内，y值随X值的增 大而增大;要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性 都是由反比例系数上的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出左的符号.至 ,知识点04比例系数K的几何意义过双曲线y = A（左0）上任意一点作X轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为因.过双曲线y = A（左0）上任意一点作一坐标

6、轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为X2-要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始 终是不变的.Q能力拓展考法Ol 反比例函数定义【典例1当上为何值时y =（左1）/2-2是反比例函数？【思路点拨】根据反比例函数解析式y = &（左0）,也可以写成y =丘t（左0）的形式，后一种表达方法 X中X的次数为-1,由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为422 = -1且左-IwO,二者必须同时满足，缺一不可.【答案与解析】解：令;由得，k = l,由得，kl.Jt-lO,综上，k= ,即左=1时，丁 二（左一1）/七是反比例

7、函数.【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：） =人；y =丘，孙=左.（左0）.X考法02确定反比例函数解析式【典例2】正比例函数y=2x与双曲线y江的一个交点坐标为A (2, m).(1)求出点A的坐标；(2)求反比例函数关系式.【答案与解析】解：(1)将A点坐标是(2, m)代入正比例y=2x中，得:m=4,则 A (2, 4)；(2)将A (2, 4)代入反比例解析式中，得：4=K,即k=8,2则反比例函数解析式yM.X【总结升华】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是 解本题的关键.【即学即练1】已知y = + %, %与X成正比例，为与X

8、成反比例，且当X=I时，y=7;当x=2时，y=8.(4) y与X之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当X =4时，y的值.【答案】解：: 丹与X成正比例，设 = k1x(k1 0).: 方与X成反比例，设为=与(K0). y = y1 + y2=k1x+.X% 二x - 2ki+ k2 = 7,把一与一分别代入上式，得 Ly = 7 y = 82匕+” = 8.2.k=3, & =44 所以y与X的函数解析式为y = 3% + .(2)自变量的取值范围是X 0.4(3)当 x=4 时，y = 34 + - = 13.4考法03反比例函数的图象和性质【典例3】正比例函数y=kx的图

9、象与反比例函数y2=丝的图象相交于A, B两点，其中点B的横坐标为X-2,当y2B. XV-2 或 0VV2C. -2VXVO 或 0VV2D. - 2VXVO 或 x2【思路点拨】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象 的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论.【答案】B.【解析】解：正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为- 2,点A的横坐标为2.观察函数图象，发现：当x - 2或0VV2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，当yy2时，X的取值范围是x - 2或OVXV2.【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数

10、的性质以及正比例函数的性质， 解题的关键是求出点A的横坐标.本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐 标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集.【即学即练2】已知四个函数y=-x+L y=2x - 1, y= - -, y=-,其中y随X的增大而减小的有（）个.X XA.4B.3C. 2 D. 1【答案】D；提示：解：y= - x+1中k= - 1 0,所以y随X的增大而增大，故本选项，错误； y=-2是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误;Xy=工是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误.X故选D.考法04反比例函

11、数综合【典例4如图所示，反比例函数的图象与一次函数y = x + Z?的图象交于M(2, m ), N( 1, 4)两点.求反比例函数和一次函数的关系式；根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的X的取值范围.【思路点拨】(1)由点N的坐标为(一1, 4),根据待定系数法可求反比例函数的关系式.从而求出点M的 坐标.再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标， 可得到使反比例函数大于一次函数的值的元的取值范围.【答案与解析】k解：(1)设反比例函数的关系式为y=.k由 N( 1, -4),得4 二 ,1 .,. k =4.4反比例函数的关系式为y

12、 = .X4,.点M(2,机)在双曲线y =上，X 4 。 . m = - = 2.2 点M(2, 2).设一次函数的关系式为y = 0x + 6,由M(2, 2)、N( 1, 4),得2 + Z? = 2, -a + b -4.解得a = 2,b = 2. 一次函数的关系式为y = 2x 2.(2)由图象可知，当九V 1或OVx V2时，反比例函数的值大于一次函数的值.【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足 两个函数的解析式.也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力.k【即学即练3】如图所示，已知正比例函数y = 3i的图象

13、与反比例函数 ) 二的图象交于点A(3, 2). %(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式.(2)根据图象回答，在第一象限内，当X取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3) M(m,扑)是反比例函数图象上的一动点，其中OV机3,过点M作直线MB x轴，交y轴于 点B；过点A作直线ACy轴交X轴于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时，请判断线段 BM与DM的大小关系，并说明理由.【答案】解：(1)将A(3, 2)分别代入y = & , y = ar中，得2 =七,3a =2.X3. _2 Zc 6, ci 3 反比例函数的表达式为y=9,正比例函数的表达式为y=2

14、%.X3(2)观察图象，在第一象限内，当0xV3时，反比例函数的值大于正比例函数的值.(3) BM=DM.理由：: Saomb = Saoac = I I = 3 , S 矩形 05Z)C S 四边形 O4Z)M S M OMB + AOAC = 6 + 3 + 3=12,即 OC 0B = 12.,. 0C=3, .*. 0B = 4,即 =4.*. m = = . .*. MB = , MD = 3 =. n 222 2.*.MB=MD.羔分后提分题组A基础过关练1 21 .在反比例函数y =的图象上有两点A(XI,) , B(X2, %)，当0%2时，有为%，则机的X取值范围是()A. m0 C. m 2 2【答案】C；【解析】由题意画出图象，只能在一、三象限，故1 2m0.2 .如图所示的图象上的函数关系式只能是（）.A. j = x B. y = C. y = 2x + l D. y =【解析】画出 y =的图象，再把X轴下方的图象翻折上去. X3 .已知次?