切线问题与阿基米德三角形.docx

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1、2、过某准线与x轴的交点。做弦与曲线交于A、B两点，分别过A、B两点做圆锥曲线的切线八，2相交于P点.那么，尸必在一条垂直于X轴的直线上，且该直线过对应的焦点.二、典型例题题型1.切线和切点弦问题【例1】：(1).过点(3,D作圆(X-1)?+/=1的两条切线，切点分别为a、3则直线钻的方程为()A.2a+y-3=0B.2r-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0(2(2023重庆)若点尸(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为.1的两条切线，切点分别A、B，当点P运(3)已知点P为2x+y=4上一动点.过点尸作椭圆?+?动时，直线/记过定点，该定点的坐标是.

2、(4)从直线/+=1上的任意点P作圆O：/+产=8的两条切线，切点为A、B,则弦4?长度的84最小值为.(5)设直线/：)，=依+b(20),0jC,：x2+r=1,C(A-4)2+y2=1,若直线，与G都相切，则A=；b=.【例2.已知椭圆C的方程为上+=1,过直线/:x=4上任意一点Q,作椭圆C的两条切线，切点分43别为A,B,则原点到直线回距离的最大值为.【例3】.(2023天津卷)已知椭圆W+=1(60)中，e=还,其上顶点为8,右焦点为尸，且a-b-5F=25.(D求椭圆的方程；(2)若直线/与椭圆有唯交点M,，与N轴正半轴交于点N,过N作防的垂线，交大轴于点P,已知MP/求直线/的

3、方程.8.11切线问题与阿基米德三角形一、知识拓展1 .切线定理一：在圆锥曲线方程中，点PC,九)是曲线上的任意一点，以而X替换以气替换X,以打)，替换丁，以用2替换),，即可得到点Pao”，0)处的切线方程.已知圆锥曲线.Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则点P(.,y0)处的切线方程为：/:U0+Cy0y+D(x+0)+E(y+%)+尸=0.定理二：在圆锥曲线方程中，点P(Ko,九)是曲线外的任意一点，以XOX替换一,以替换”，以先,，替换y2,以义产替换y,即可得到点Pao,先)的切点弦方程.若圆锥曲线Ar+Cyz2Dx+2Ey+F=0,则点P(%,%)处的切点弦方程为：Z:Ax0

4、+Cyoy+D(X+,0)+f(,+yo)F=O.2 .抛物线切线与阿基米德三角形抛物线切线方程：设在抛物线Y=2上任意一点A(Xo,九)的切线方程为：XVO=My+肾)注：解答题不可直接写结果，过程如下：证明：丁点A(K3%)在抛物线上./2=2py0；又=2py：.)=-求导得k=y,=-=；2p2p.在点a(x0,0)的切线方程为：y-,o=-(XfO)即py-PyQ=-2=Qb=p(.v+()P阿基米德三角形：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.切点分别为A(1,),).8(兑，y,)在阿基米德三角形RAB中：点PC4,y。)，根据.=血且，%=竽；夕M

5、，22p的面积S应予，或者S幺8=色铲特殊的阿基米德三角形：过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线,/；相交于P点.那么阿基米德三角形PAA满足以下特性：1、P点必在抛物线的准线上；2、ZkPAB为直角三角形，且角P为直角；3、PF1AB(即符合射影定理)：另外，对于任意圆锥曲线(椭圆，双曲线、抛物线)均有如下特性：1、过某一焦点尸做弦与曲线交于A、B两点,分别过A、B两点做圆锥曲线的切线/相交于P点.那么，P必在该焦点所对应的准线上；题型2.阿基米德三角形的定点定值问题【例4.（1）（2023济南期末）已知直线/与抛物线C：V=8x相切于点P,且与

6、C的准线相交于点了，F为C的焦点,连接P尸交C于另一点。，则”面积的最小值为;若7F=5,则IPQI的值为.（本小题第一空2分，第二空3分）（2）（2023河南月考）已知抛物线C:.d=4y与直线1y=履+b交于A,8两点.（1）当6=4时，求证：OA1Off;（2）当b=I时，过八，8两点分别作抛物线C的切线小，交点为M，求证：点M在一条定直线上.例5.（2023全国乙卷理科21题）已知抛物线C:N=2pNP0）的焦点为尸，且尸与圆M:./+（,+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求；（2）若点尸在M上，PA,朋为C的两条切线，A.8是切点，求MAB面积的最大值.所以，=-5y0.因为

7、互+4=64=1,%0,故%=叱，=-.566所以，直线，的方程为一在X+远产1,BPx-y+6=0.66题型2.阿基米德三角形的定点定值问题25【例4】（1）16,（2）【详解】（1）设点4（x,乂）、B（M,力），联立；./得X2-4A1r_16=0,Iy=+4所以玉+a=4k,0G=-16,y1y2=-=16-所以西丽=XJ+y=0，故O4_1Q8；44（2）联立卜4得.一一4收一4=0,%+%=4火,xx2=T,y=fcr+1设点4（%*）、*巧,）,联立MG4*，等）=（22,-1）,故M在直线y=-上.【例5】【详解】（1）抛物线C的焦点为广（0,孑），,MI=+4,所以，尸与圆M

8、:Y+（y+4）2=1上点的距离的最小值为+4-1=4,解得，=2：2（2）抛物线C的方程为Y=4y，即卜=三，对该函数求导得y=,设点A（X,*）、3（为,必）、PQ%，%），8.11切线问题与阿基米德三角形答案:【例1】：(1).A(2).x+2y-5=0(3).(1,；)A=冬=一苧【例2】.1【例3】.【详解】(D易知点F(c,0)、B(O,b),iBF=c2+fr2=5,因为椭圆的离心率为e=孚，故c=2,b=77=i,因此,椭圆的方程为曰+丁=1,(2)设点M(Xo,%)为椭圆*+V=1上一点，先证明直线MV的方程为等+W=I,+w=1,消去)并整理得Y-2x+xj=0,=4xJ-

9、4xJ=0,I-V2=12 5x2-立联因此，椭圆qV=1在点虹(飞,北)处的切线方程为专+y0y=1.在直线MN的方程中，令X=o可得y=/,由题意可知招0,即点no,直线B尸的斜率为即=-2=：,所以，直线RV的方程为y=2x+1,C2%在直线PV的方程中，令)=0,可得X=-9-,1%因为MPIIBF,则%=%，即2xa0+12,罐里可得(耳+5y0)=0,直线的方程为=5（X-即）=当一M，即MX-2-2y=0,同理可知，直线M的方程为七大一2必一2y=0,xx0-2V1-2ya=0由于点?为这两条直线的公共点，则C；八，x2xo-2y2-2yo=0所以，点A、8的坐标满足方程飞尤-2y-2%=0,所以，直线AB的方程为陶x-2y-2y0=0,xox-2y-2yo=O联立Y,可得2-2%+4%=0,由韦达定理可得-V1+x2=2x0,XX2=4y0,所以，5配=gIA邳，=BJ(X：+4XW-4%).1=；(工；-4%J,.,-4y0=1-(y0+4)2-4%=-W-12%-15=-(%+6)2+21，12r.由已知可得一5%-3,所以，当儿=-5时，尸A8的面积取最大值-202=205.2