第21课 弧、弦、圆心角、圆周角（教师版）.docx

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1、第21课弧、弦、圆心角、圆周角课程标准(1) 了解圆心角、圆周角的概念;(2)理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；(3)掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.知识点。1弧、弦、圆心角的关系1 .圆心角定义如图所示，NAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.2 .定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3 .推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角

2、相等,所对的弧也相等.【注意】一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.知识点02圆周角1 .圆周角定义像图中NAEB、ZADB NACB这样的角，它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.A.和半径垂直的直线是圆的切线B.平分直径一定垂直于弦C.相等的圆心角所对的弧相等D.垂直于弦的直径必平分弦所对的弧2 .圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.3 .圆周角定理的推论半圆（或直径）所对的圆周角是直鱼，90。的圆周角所对的弦是直径.【注意】圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相

3、交.圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4 .圆内接四边形（1）定义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.性质：圆内接四边形对角互补,外角等于内对鱼（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）.5 .弦、弧、圆心角、弦心距的关系在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等。（例 如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）。如果它 们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。考法 圆心角、弧、弦之间的关系及应用【典例1】下列命题中，正确的是（【答案】D 【详解】A项还可能与圆相交，故错

4、误不选;B项过圆心的直线都平分直径，但不一定垂直于弦，故错误不选;C项如果半径不等，则对应的弧也不相等，故错误不选;D项说法正确.故答案选D.【即学即练】下列四个命题中，真命题是（A.如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C.平分弦的直径一定垂直于这条弦D.等弧所对的圆周角相等【答案】D【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合 题意；B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；C、平分弦(非直径)的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；D、等弧

5、所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，故选：D.【典例2】如图，。的半径为9cm, AB是弦，OCLAB于点C,将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D,则AB的长为()【答案】D【详解】解：连接04,将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点。，2.*.0C=-r=6 (cm), OCLAB, 3：.AC= CB=OA2-OC2 = 92-62 = 35 (cm),：AB=2AC=6小(cm),故选：D.【即学即练】如图，AB是。的直径，点。是弧AC的中点，过点。作。EL AB于点,延长OE交。于点尸，若AE = 2,。的直径为10,则AC长为()A. 5B. 6【答案】D【详解】解：连接叱

6、，如图:.DEAB, AB 过圆心 0,.DE = EF , AD = AF , QO为弧AC的中点， AD = DCf ADC = DAF，.AC = DFf.。的直径为10, OF= OA= 5,AE = 2,.OE = OA-AE = 5-2 = 3 ,在放。石F中，由勾股定理得：EF = SF2OE2=后万=4, .DE = EF = A, .AC = DF = DE-EF = 4-4 = 8 f故选：D.【典例3】如图，AC为。的直径，BD是弦,且AC_LBD于点.连接AB、OB、BC.求证：ZCBo = ZABD;若AE = 4cm, CE = 16cm,求弦的长.【答案】见解析(

7、2)弦BD的长为16Cm【详解】(1);AC为。的直径，且ACLBO,* AB = AD：.NABD=NC,： OB=OC,.NC=CB0,：.ZCBO= ZABD；(2) VAE=4, CE= 16,OA=10, 0E=6,在 Rt OBE 中，BE = y102-62 = 8,YAC 为。的直径，ACLBD,：.BE=DEf.,. BD2BE= 16cm.【即学即练】如图，OO的弦AB、OC的延长线相交于点E（1）如图L若AO为120。，BC为50。,求NE的度数;（2）如图 2,若 AE=DE,求证：AB=CD.【答案】（I）NE=35。Q）见解析【详解】（1）连接AC为120。, BC

8、为50。,. ZACD = -120o = 60o, ABACx 50。= 25o , 22.*.NE= ZACD-ZBAC=60o-25o=35o;(2)证明：连接AC、BD,： BC = BC，：.ZA=ZD,在AACE和AOBE中，ZA = ZDDE,AD=BD,AC=BC,故选:B.5 .如图，AB是。的弦，点。是AB的中点，OC交于点D若AB = 8,。的半径为5,则CD=(A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】解：如图，连接O4, 0B,。是AB的中点，* AC = CB,：.NAOC=NBOc,又,：0A=OB=5, AB=S,：.OCLAB, AD=BD= AB=4

9、 （等腰三角形的三线合一）,在Rtb AOD中由勾股定理得：OD= AO2-AD2=52-42=3：.CD=OC-OD=5-3=2.故选:B.6.如图，已知AB和 S 是。O的两条等弦，OMLAB, ONLCD,垂足分别为、N, BA. OC的延长线 交于点P,连接Op 下列四个说法：AB = CQ ;OM=ON；Rl=Pc NBPO=NDP0；正确的个数 是（）A. 1B. 2【答案】D【详解】解：如图连接08、0D；uJAB=CD,* AB = CD故正确； tJOMLAB, ONLCD,：.AM=MB, CN=ND,：.BM=DN,OB=OD,：RtX OMB 咨 R於 OND,：OM=

10、ON,故正确；. OP=OP,： RtX OPM乌 R於 OPN,：.PM=PN, ZOPB=ZOPd,故正确；： AM=CN,：.PA=PC,故正确，综上，四个选项都正确，故选：D.7.如图，在。0 中，弧 AB=弧 BC=弧 CD 连接 AC, CD,则 AC 2CQ （填“”、V”或“=”）R.【答案】【详解】解：如图，连接A5、BC,IAB=BC=CD,V ACAB+BC ,JAC2CD.故答案为：8 .如图，在。中，AB = CD, Zl=45o,则AB的度数为 一.【答案】45【详解】解：AB =。，.Z2=Zl=45o,AB = 45，故答案为：45.9 .已知，如图，A、B、C

11、、。是。上的点，ZAOB=ZCOd,求证:AC=BD【答案】见解析 【详解】证：V ZAOB = ZCOd：.ZAOC = ZAOB+ZBOC = ZCOD+ZBOC = ZBOD.,.AC BD10.如图，在&MZBC中，ZBAC=90o,以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点O,交AB于点, 连接。.(1)若 NABC=20。，求NQEA 的度数；(2)若 AC=3, AB=4,求 O)的长.【答案】(1) 65； (2) y.【详解】解：(1)如图，连接ADV ZBAC=90o, ZABC=20o,：.ZACD=70o.VAC=AD,.*.zacd=zadc=70o,：.Z CAD= 180o-70o-70o=40o,. ZDAE=90o-40o=50o.又 YAD=AE,.*.ZDEA=ZADE= (180。-50。) =65。；(2)如图，过点A作4尸_LeD垂足为足V ZBAC=90o, AC=3, AB=4, .BC=5.又,. - AFBC= - ACAB, 22”=以上55 CF= 4 3212VAC=AD, AFLCD,