第20课 垂径定理（教师版）.docx

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1、第20课垂径定理课程标准(1)理解圆的对称性;(2)掌握垂径定理及其推论；(3)学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.知识点01垂径定理1 .垂径定理垂直于弦的直径壬父这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2 .推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.【注意】垂径定理是由两个条件推出两个结论，即直径 1 J平分弦垂直于弦j 平分弦所对的弧(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点02垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分

2、弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等.【注意】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个 条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直 径)考法Ol应用垂径定理进行计算与证明【典例1】如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm,水面宽AH为8cm,则水的最大深度CD为（）A. 4cmB. 3cmD. Icm【答案】C【详解】解：如图所示:输水管的半径为5cm,水面宽AB为8cm

3、,水的最大深度为。D,DO.LAB,. .AO = 5cm, AC = AB = 4cm , 2.C(9 = 52 -42 =3(cm),：.CD = 5-3 = 2(cm)水的最大深度8为：2cm.故选：C.【即学即练】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘 了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心。在水面 上方，且。被水面截得的弦AB长为6米，。半径长为4米.若点。为运行轨道的最低点，则点。到弦AB所在直线的距离是（）A. (4 - 7)米 B. 2 米图1C.D. (4+7 )米【答案】A【详解】解：根据题

4、意和圆的性质知点C为AB的中点,连接 OC 交 AB 于。，贝UoCLAH AD=BD= AB=3,在 Rt OAD 中，OA=4, AD=3, .*.OD= Q42-AD2 =42 -32 =7，：.CD=OC -OD=A- 7 ,即点。到弦AB所在直线的距离是(4 - 7 )米，故选:A.【典例2】如图，在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、O两点.求证：AC=BD;(2)连接。A、0C,若。4=6, OC=4, NOCQ=60。，求 AC 的长.【答案】见解析(2)26-2【详解】(1)证明：过。作OHLS于，如图1所示： JOHLCD,：.CH=DH, AH=BH,：.

5、AH - CH=BH - DH,：.AC=BD;(2)解：过。作OH_LCO于连接。，如图2所示:B图2贝IJ CH=DH=； CD,V OC=OD, NOCQ=60。， 是等边三角形，：.CD=OC=A,：.CH=2,*OH= OC1-CH2 = 42 -22 =23，.AH= -OH2 = 2-(23)2 =26 , ：.AC=AH- CH=26 - 2.【即学即练】如图，AB为。O的弦，OeLLAB于点交。于点C 若。的半径为10, OMz MC=3： 2,求AB的长.【答案】AB = I6【详解】解：如图，连接。A.VOM： MC=3： 2, OC=IO,3 3.*. OM= OC =

6、 10=6. 55,. OCLAB, .ZOMA=90o, AB=IAM.在放AAOM 中，AO=IO, 0M=6, AM = yJao2-OM2 = 102-62 = 8.AB=2AM=16.考法02垂径定理的综合应用【典例3】如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3 米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即8）为0.5米.则秋千链子的长Q4为（）A. 2米B. 2.5 米C. 1.5 米D. g米【答案】B 【详解】解：点。为AB的中点，由垂径定理知 ODLAB, AD=BD= AB= 3=1.5（）,.*.OA2=AD2OD2,贝IJ OA

7、2=AD2+（OA-CD）2=1.52+（OA-0.5）2,解得：OA=2.5（米）.故选：B.【即学即练】工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为IOmm,钢珠上项端离零件上表 面的距离为8mm,如图，则这个零件小孔的宽口 AB等于（）mm.【答案】D【详解】连接。4,过点。作0。，AB于点。,贝IJ AB=2AD,Y钢珠的直径是IOmm,J钢珠的半径是5mm.钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,.*. OD=3mm.在放ZkAOD 中，I AD = JoA2_0D2 =,5232 =4mm,. AB=2AZ=24=8mm故选D【典例4】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度A5=6

8、0米，拱高尸。=18米.(1)求AB所在圆的半径r的长；当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米，即尸=4米时，是否要采取 紧急措施？并说明理由.【答案】(1)34不需要采取紧急措施，见解析【详解】(1)解：连结。4,由题意得：A=AB=30, OD=(LI8), 在放ZkAOO中，由勾股定理得： r2=302+(r-18)2,解得，r= 34.(2)解：连结OA, OE= OP-PE= 30, .在放 4EO中，由勾股定理得：ArE2 =ArO2-EO2，.*. A炉=342-3()2,解得：A石=16.*.=32.TAE =32 30, 不需要采取紧急措施.【即学

9、即练】如图，射线PG平分NEPF O为射线PG上的一点，以0为圆心，13为半径作。分别与 NEP尸两边相交于点A, B和点C, D,连结OA,此时有OAP.(1)求证:AP = A0；(2)若弦AB = 24,求OP的长.【答案】（1）见解析（2） 526【详解】（1）证明： PG平分NEPF.*.ZEPO=ZAPoVOAZzPE. ZEPO=ZAOp. ZAPO=ZAOpAAP=AO（2）过点0作OHLAB于点H,如图,根据垂径定理得到AH=BH=-AB =12 2.*.PH=PA+AH=AO+AH= 13+12=25在H AHo中，OH = yOA2-AH2 =132-122 =5由勾股定

10、理得：0P = 0H2+PH2 =52 + 252 = 526则OP的长为5后故答案为：5/5题组A基础过关练B. 23D. 43【答案】D【详解】如图所示，连接Q4由题意知,弦心距OC=2, r = 4则根据垂径定理，有OCLAB在RlAOAC 中，=OC2+ AC2则 AC = J(M2_002 =J4一* =26 根据垂径定理可知，AB = 2AC = 43 故选D.1 .如图，。的半径为4,弦心距OC=2,则弦AB的长为（）O2 .如图，AB为OO的直径，AE为。的弦，。为优弧樨的中点，CDLAB,垂足为。，AE = Sf DB = 2,则。的半径为（）A. 6B. 5D. 43【答案

11、】B【详解】解：如图，连接CO,延长Co交AE于点7,设CO的半径为人AC = CECTlAEf:.AT = TE = -AE = 4 , 2在4 AOT和OD中，ZATO = ZCDO = 90 ZAOT = ZCOD ,AO = CO. AOT t COD(A45),CD = AT = A,在 H CoD 中,OC2 =CD2+ OD2, r2 =42+(r-2)2,. r = 5,故选：B.3 .小明想知道一块扇形铁片Q4B中的AB的拱高(弧的中点到弦的距离)是多少？但他没有任何测量工具,聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由K）Cm的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）.他将扇形Q4B按如图方

12、式摆放，点。A5恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，AB的拱高约是（）A. IOcmB. 20cmC. (30-105)cm D. (1013-30)cm【答案】D 【详解】解：如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm, AB=40cm, 。为A5中点， 由垂径定理得OC垂直且平分AB,BC=20cm,J OB = OC2+BC2 = 1013 cm, .* OD=OB=10y13 cm,：.CD=OD-OC= (1013 - 30)cm,即拱高为(1。-30卜m,故选D.4 .如图，C。是。的直径，弦ABLCD于点,则下列结论不一定成立的是（）D. AD = BDA. AE=

13、BEB. OE=DEC. AC = BC【答案】B【详解】解：.8是一。的直径，弦ABLCD于点石，：.AE = EB，AC = BCy AD = BD 故选：B.5 .下列语句中不正确的有（） 长度相等的弧是等弧；垂直于弦的直径平分弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；半圆是圆中最长的弧；不在同一条直线上的三个点可以确 定一个圆.A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】B【详解】因为能够完全重合的弧是等弧,故不正确；垂直于弦的直径平分弦说法正确；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故说法不正确；平分弦（不是直径）的直线

14、也必平分弦所对的两条弧，故说法不正确；半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故说法不正确；不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故说法正确，不正确的语句有4个，故选：B6.如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm,水面最深 的地方高度为2cm,则该输水管的半径为（）A. 3cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm【答案】B【详解】解：如图所示：过点。作LAB于点连接。A,9：ODLAB,*.AD- -AB=4cm,设 OA=/，贝IJOD=T - 2,在 RtZkAOD 中，OA2 = OD2-AD2,即 r2= （r-2） 2+42,解得r=5cm.,该输水管的半径为5cm；故选：B.7.如图，在。中，弦A5,0C于石点，。在圆上，AB=8, CEI=2,则。0的半径AO=【答案】5【详解】解：设。的半径为广贝IJoC=O