蒙日圆的定义、证明及其几何性质 （解析版）.docx

《蒙日圆的定义、证明及其几何性质 （解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《蒙日圆的定义、证明及其几何性质 （解析版）.docx（24页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、蒙日圆的定义,证明及其几何性质微点1蒙日圆的定义、证明及其几何性质【微点综述】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是 圆,所以这个圆又被叫做“蒙日圆本微点主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质.1 .人物简介加斯帕尔蒙日（Gaspard Monge , 17461818）,法国数学家、化学家和物理学家.生于 博恩的平民人家.蒙日的一生励志又传奇，蒙日出身贫寒，但他自幼聪颖好学，自强不 息、，少年时在家乡一所天主教开设的学校学习，后转学里昂，14岁时就能造出消防用 的灭火机，16岁毕业，留校任物理学教师.接着被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院 学习，年仅22岁

2、就初创“画法几何学”，23岁时任该校教师.26岁时被巴黎科学院选为 通讯研究员.29岁时任皇家军事工程学院皇家数学和物理学教授”.34岁时当选为科 学院的几何学副研究员. 38岁时被任命为法国海军学员的主考官.46岁时任海军部长 8个月. 51岁时任法国著名的综合工科学校校长. 72岁在巴黎逝世.蒙日所处的时代，人们在设计工程时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建 成的工事拆毁重建，而蒙日的画法几何方法就轻而易举解决了这类问题，不止如此，他 的、画法几何学”还推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基 础，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金

3、学、机械学 方面也取得了卓越的成就.蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立 发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹 几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓 越的成就.他的大炮制造工艺在机械制造界影响颇大.主要著作有：曲面的解析 式（1755 I静力学引论（1788 画法几何学（1798 代数在几何学中的应用(1802 1分析在几何学中的应用(1805 )等.2 .蒙日圆定义及其证明先来看一道高考题：例1 (2014年高考广东理20)已知椭圆C：5 + = l(ab0)的一个焦点为(

4、6,0), 离心率为q.(I )求椭圆C的标准方程；(H )若动点P(M，%)为椭圆外一点，且点/到椭圆C的两条切线相互垂直,求点。的轨迹方程.【解析】(I)可知 c=6 , y,e = - = - = . .a = 3,h2 =a2-C2 =9-5 = 4 ,故椭圆 C a a 3(H)设两切线为44 ,当/Jx轴或轴时，对应/X轴或，2 轴，可知P(3,2)或P(3,2) .当4与工轴不垂直且不平行时，/工3 ,设4的斜率为攵，则ZWOd的斜率为一;， 4的方程为y-%=MX-Ai),联立/+=,得 (9 + 4)x218(y0-)x + 9(y0-)2-4 = 0 ,直线与椭圆相切， =

5、(),得(1 弘)2(%-也)2-36(先-5)2-4侬2+4)= 0,.4(刈-5)2-4(%2+4)=(),整理得 -9)2-2xo3 + -4 = O (*),./是方程(* )的Y根，同理是方程(* ) 的另一个根，其中x#3 ,，点P的轨迹方程为f+ y2=13(x3),又P(3,2)或 P(3,2)满足上式.综上知：点P的轨迹方程为- + V = ?.【点评】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将 直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了 方程思想的灵活应用.例1中的圆是蒙日的画法几何学中有一个有趣的结论(可以形象的称

6、为筷子夹定理)：【定理1】在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心,半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根,这个圆叫蒙日圆，如图1.如图1 ,设椭圆的方程为5 + = l（ab0）,则椭圆两条互相垂直的切线附, PB交 点尸的轨迹是蒙日圆：2 + V+6 .证明：证法一（解析法+韦达定理）：当题设中的两条互相垂直的切线PA, PB斜率均存在且不为。时，可设?（天,为）（/且）/人），过P的椭圆的切线方程为丫-% = （。%）, 丁-%=Mxf）（AWO）,由/2 得a2k2 +b1x2-2ka2（kx0-y0）x+a2 （ -y0）2 -a2b2 =0 ,

7、由其判别式值为。，得（片一万）依一2Ao%+解一/=0（片-12O）,MA，即8是这个关于左的一元二次方程的两个根，即A 即B= 2二，由已知PA上PB,: * =-1, .军名二T , .片+4=/ +从，,点尸的坐标满足方g2 + y2=2+2 .当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB有斜率不存在或斜率为。时，可得点尸的坐标为（土即。）或（,士力），此时点尸也在圆d + y2=+从上综上所述：椭圆5 + / = 1（。0）两条互相垂直的切线处/8交点尸的轨迹是蒙日圆：x2 + y2=a2+h2 .证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）: 当题设中的两条互相垂直的切线PA, P

8、B斜率均存在且不为。时，设P（0，%）(3a且工方),切点A(X,),B(w,%XyrV20)，则切线PAM+浮=1,电警+岑=1 . a- ba- b-P（AO，%）在切线PAJB上，.竽+等=1,竽+竽=I ,由两点确定T直线得直线A8的方程为学+挈=1 . a- b-即A% = Y 一=，七也8 = 21 匹=，一（G%）（%L ） = , （ a y2） XH 玉 / XM2a（%/乂，= 1,2）即在圆的方程为4 +鸟=1,又在直线.：学+等=1上， （Tb-Cl D.。营=（沪豹，可得/（），：_） | +22以0为目+叩;_力0 ,丁跖/（一） /（,一。2）克-从/4高一所询一

9、通询TeAJ/一下 又(ft%? )(404%08 ) = / ；, kpkpB = 由已知尸W6T-Y +N*t.点P的坐标满足方当题设中的两条互相垂直的切线PA, PB有斜率不存在或斜率为。时，可得点尸的坐标为（土即。）或（,士力），此时点尸也在圆d + y2=+从上综上所述：椭圆5 + / = 1（。0）两条互相垂直的切线处/8交点尸的轨迹是蒙日 圆：x2 + y2=a2+b2 .先给出几个引理，然后给出证法三蒙日圆的几何证法.【引理1】（椭圆的光学性质）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射 光线交于椭圆的另一个焦点上（如图2所示）.证明：如图3所示，设。为椭圆（其左、右焦点

10、分别是）上任意给定的点，过 点。作NKP鸟的外角平分线所在的直线/（N3 = N4）.先证明/和相切于点。,只要证 明/上异于P的点产都在椭圆的外部，即证尸&+P6W+P国.在直线”上 选取点尸，使IPM=IP用，得ApP尸二ApPEg因，. PF = PH ,可得 P6+P闾=PK+PF山/I=旧H+I尸尸1=|尸制+|朋|再过点P作NKPV的平分 线PA（NI = N2）,易得尸A3 ,入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.【引理2】过椭圆（其中心是点O ,长半轴长是。）的任一焦点F作椭圆的任意切 线/的垂线，设垂足是H ,则|。川=.证明：如图4所示，设点尸,尸分别是椭圆的左、右焦点，

11、A是椭圆的切线上的切 点，又设直线可,UA交于点3 .由引理1 ,得NfAN = NSk = NBA”（即反射角与入 射角的余角相等）,进而可得AEA”且MiAH ,，点H是FB的中点，得OH是BFF的 中位线.又IAFI=I蜴，oM=J（F4+AM）=y尸到+A尸）= .【引理3】平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明：这里略去过程（可用余弦、可作垂线、可用坐标）.【弓I理4】设点。是矩形ABCD所在平面上一点，则PA1 + PC2 = PB2 + PD2 .证明：如图5所示，设矩形ABC拉的中心是点。.由引理3 ,可得尸T+R72=2(Q42+0尸) = 2(.2+0尸)=?

12、出+尸,即欲证成立. 把引理4推广到空间彳导到的结论就是:底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等. 下面给出定理1的证法三.证法三(几何法)：不妨设.当=时，易证成立.下面只证明/，的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ,左、右焦点分别是J鸟，焦距是2c ,过动点P的 两条切线分别是PM,/W .连结OP ,作OGPMQHj.PN ,垂足分别是G,”.过点 A作PM ,垂足为。，由引理2得IOq= .再作K，。G于K .记NoKK = J , 得IDGI=I6K = 8ose .由 RtAa)G ,得IoG=|oDfTDGl2=-c2cos2j 又作 F2EPN,F2LlOH 垂足分别为

13、EL .在Rt田/中，同理可得： O2 =|O|2-|H|2 =a2-c2sin .(1 )若 PMlPN ,得矩形 OGP” , JIoPl2 =OG2+OH2 =(2 -c2cos2) + (a2-c2sin20) = a2 +b2(2 )若 Iaf=/+从,得 IOpI2 =2 -cW6) + (2 -c2sin) = 2 +O72 , 由OGj_PM ,得IOH2 =|凶2+1GPl2IGPI=IOHI .同理，有IOq=I期，四边形OGP”是平行四边形，进而得四边形OGP”是矩形， ；PM工PN .由(1 )(2)得点P的轨迹方程是.r2 + V+2,以上过程中的%b ,分 别是椭圆

14、长半轴、短半轴长.证法四(高等几何法)：蒙日圆的另一种叙述：中心为。的椭圆外切矩形ABC。的外切圆圆心也为。，作椭圆的 两条平行切线分别交圆。于A,。, C则蒙日圆性质可以表示为Ab及CD与椭圆 相切.证明：A。，*C与椭圆相切且平行,由对称性知四边形AEcD也为矩形.设M,N,K,Q均为矩形ABC。与AbCTy的边边交点(如图7), BtA1 DA = P .逆推：要证ATr与椭圆相切U六边形NDQWK*的布列安桑定理UB1Q KD MN = SU 一对红色三角形笛沙格定理UBDHKQ ( KM/DN , MQH ENu一对绿色三角形笛沙格逆定理(KQHBIyHBD ) U BBPM/DD=

15、 Nl = N2 = N3 (成立).3.蒙日圆的几何性质：【定理2过圆Y + y2=a2+b2上的动点/，作椭圆 %营=(ab0)的两条切线P,PB ,则必_1尸6 .22工+匕=1证明：设P点坐标(AO , %),由a2 M ,得y-%=MXrO)(a2k2 +b2)x2-Ika2(kxQ-y0)x+a2(-y0)2-a2b2 = 0 ,由其判别式的值为 0 ,得(片-/*-2/)，# + 呼-/=O(W-a? #0),% ,原6是这个关于k的一元二次方程的两个根，./=亭与，片+=/+/ ,正一从kpA%=N- = - , PAVPB .【定理3】设。为蒙日圆O ： / + /=/+02上任一点 过点尸作椭圆捺+m=的两条L2切线，交椭圆于点儿从。为原点，则OPjB的斜率乘积