第18课 一次函数与一次方程（组）（教师版）.docx

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1、第18课一次函数与一次方程（组）号目标导航课程标准L能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2.在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想.取知识精讲.知识点Ol 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y = A% + h （左0,。为常数），当函数y =O时，就得到了一元一次方程丘+ b = 0,此时自变量X的值就是方程履+ =0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求 相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y = Ax + Z? （k0,。为常数），确定它与X轴交点的横坐标的值.注意：（1）求一

2、次函数与X轴的交点，令匕2，解出X即为与X轴交点的横坐标;（2） 一次函数y =卮+ （左0,。为常数）是一个关于X和y的二元一次方程,这个方程有无数组解,但若已知X的值（或y的值），即可求出y的值（或X的值）；（3）若一次函数y 二丘+ ，满足等式加 +人=或mk + bf =。,则函数必过点（m,n）；同理,若一x = m次函数图像上有个点（m, n）,则二元一次方程有一组解为；0-0 , 里,知识点02 一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这时的函数为何值；从 “形”的角

3、度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.注意：（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象 的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数r oy = -2x + 4313x = 3,y = -2x + 4与y = X 图象的交点为(3, -2),贝UC就是二元一次方程组313的解.22, 二 -2y = -x II 22(2)当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点,则两个一次函数 的直线就平行.3x-y-5反过来，当两个一次函

4、数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组C 1无解,3-y-l则一次函数y = 3X-5与y = 3x + l的图象就平行,反之也成立.(3)当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.妄知识点03方程组解的几何意义I.方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标.2 .根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：根据交点的个数,看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出(或近似估计出)方程组的解.3 .对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数.Q能力拓展

5、考法01由一次函数求方程的解【典例1】直线V=QX+/? (a0)过点A (0, 2), B (1, 0),则关于X的方程QX+Z? = 0的解为()A. x=0B. x=2C. x=lD. x=3【答案】C【解析】【分析】关于X的方程依+0=0的解为y=依+。图象与X轴交点的横坐标，再根据直线过点B(L 0)即可求解.【详解】解：方程如+A=O的解，即为函数y=0x+。图象与X轴交点的横坐标，团直线 y=x+。过 5 (1, 0),团方程QX+0=0的解是X=L故选：C.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，属于基础题.【即学即练】若一次函数V =丘+6的图象如图所示，则关于X的一

6、元一次方程立+ = 0的解是.【答案】x = 2【解析】【分析】一次函数y =丘+5与关于X的一元一次方程依+=0的解是一次函数y =依+当y=。时，X的值，由图像 即可的出本题答案.【详解】解：团由一次函数y =履+的图像可知，当尸。时，=2,回关于X的一元一次方程辰+ = O的解就是=2.故答案是：m2.【点睛】本题主要考查了一次函数V =依+。与关于X的一元一次方程立+=0的解关系的知识，掌握一次函数y = kx + b,当y =。时，X的值就是关于X的一元一次方程依+ = 0的解，是解答本题的关键.【即学即练】一次函数V =丘+5 （鼠为常数，且b0）的图象如图所示.根据图象信息可求得

7、关于X的方【解析】【分析】直接结合图象求解出一次函数的解析式，再列出一元一次方程即可求解出值.【详解】国一次函数 =辰+。过（2,3）,（0,1）点，2k + b = 3Pt = I国一,解得一，b = lb = l回一次函数的解析式为：y = +,列!方程+1 = 3,解得X = T.故答案为：x = T.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，能结合图象确定一次函数解析式，再列方程是解答本题的关键.【即学即练】在平面直角坐标系中，一次函数y=x+A （左、方为常数，且b）的图象如图所示，根据图象 中的信息可求得关于X的方程+人=-1的解为.【解析】【分析】运用待定系数法求出函数的解

8、析式，再把丁=-1代入，即可求出X的值. 【详解】f b = l把（0, 1）和（2, 3）代入y=丘+A得：S,2k + b = 3解得：k=l, b=l,即 y=x+l,当 y= - 1时，x+l= - 1,解得：X= - 2,故答案为X= - 2.【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，比较简单，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键.【即学即练】一次函数y=kx+b(QO)中，X与y的部分对应值如下表：X-2-1012y9630-3那么，一元一次方程kx+b = O在这里的解为.【答案】x=l【解析】【分析】此题实际上是求当y=0时，所对应的X的值.【详解】根据上表中的数据值，当y=

9、0时，x=l,即一元一次方程kx+b=O的解是x=l.故答案是：x=l.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联 系，理解一次函数的增减性是解决本题的关键.【即学即练】已知直线y= (2m+4) x+m-3,求(1)当m时,y随X的增大而增大；(2)当m时,函数图象与y轴的交点在X轴下方;(3)当m时,函数图象经过原点；(4)当m时，这条直线平行于直线y=一%.【答案】(1)-2； (2) 0,解不等式即可；(2)根据直线交于y轴的负半轴，可得根一3O解得m-2,故答案为-2；(2)团直线y= (2m+4) %+机-3图象与y轴的交点

10、在X轴下方；0m30；解得m3,故答案为V3；(3)回直线y= (2m+4) x+机-3图象经过原点，0m一3=0,解得m=0,故答案二3；(4)团直线y= (2m+4) 1+%一3平行于直线y=一4.02m+4=-l,解得加=一：,故答案为二g.【点睛】本题考查一次函数的性质，一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，掌握一次函数的有关性质是解 题关键.考法02两直线的交点(由一次函数求解方程组)【典例2若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m, 8),则a+b=.【答案】16【解析】【详解】把(如8)代入直线y=x+a和直线y=x+有,8=-m+a,8=m+b,两个式子相加有a+

11、b=16.【典例3】X=时，函数y=3x-2与函数y=5x+l有相同的函数值.3【答案】【解析】【详解】本题考查了函数值.根据有相同的函数值，也就是y的值相等解答解：由题意得：3x-2=5x+l3 解得：=-即学即练】两个-一次函数y =-2x+5和y = -x + 8的图象的交点坐标是.【答案】(-341)【解析】【分析】把两个函数解析式联立解关于x、y的二元一次方程组即可.【详解】y = -2x+5解：联立两函数解析式得：厂 C ,解得:X =-3y = 11团交点坐标为(-3, 11).故答案为(-3, 11).【点睛】 本题考查了两直线的交点坐标的求法，联立两直线解析式然后解方程组即可

12、，是常用的方法，需熟练掌握.【即学即练】已知一次函数y = 2x-6与y = -X + 3的图象交于点p,则点P的坐标为.【答案】(3,0)y = Ix-6解方程组1 + 3,可得交点坐标【详解】解方程组y = 2x-6Jr = 3 y = O所以，P(3,0)故答案为(3,0)【点睛】本题考核知识点：求函数图象的交点.解题关键点：解方程组求交点坐标.【即学即练】如图，直线y=Qx+Z?与直线y=cx+d相交于点(2, 1),则关于X的一元一次方程QX+方=CX + d的解为.【答案】%=2【解析】【详解】观察图象，回直线y=ax+8与直线y=s+d相交于点(2, 1),国关于X的一元一次方程

13、ax+b=cx+d的解为直线yax+b与直线y=cx+d交点的横坐标,即 x=2,故答案为：x=2.Iy = QX + 3【即学即练】直线办+ 3与%= + b的图象如图所示，则方程组尸理解是x = -2【答案】1y = l【解析】【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标即为方程组的解.【详解】由图可知，交点坐标为（-2, 1）,y = ajc + 3x = -2所以，方程组广7的解是 1，y = -+o y = = 2故答案为1 .y = 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），涉及了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的 图象上，在函数的图象上的点，就一定满足

14、函数解析式.函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组 的解.考法03 一次函数与坐标轴的交点【典例4】直线y = 4x + l与X轴交点坐标为.【答案】1；，。【解析】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，令卢0,求X,即为直线与X轴的交点坐标.【详解】解：当卢0时，4x + l=0,解得：回直线y = 4x + l与X轴交点坐标为卜;,故答案为：110.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键.【典例5如图，已知直线U y=2x+l、直线I2： y= - x+7,直线k I2分别交X轴于B、C两点，k b相交于点A.(1)求A、B、C三点坐标;(2)求AABC的面积.y=2x+ly= -