第三章 圆锥曲线的方程公式定理结论图表新教材公开课.docx

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1、第三章圆锥曲线的方程（公式、定理、结论图表）、思维导图用平面载SI维匚椭圆I双曲线我物线范围顶点对称性离心率渐近线（双曲线）三种圆锥曲线的定义坐标法三种圆维曲线的标准方程三种B1锥曲线的几何性质三种圆锥曲线的应用、知识梳理I一、椭圆的定义平面内与两个定点入，尸2的距离的和等于常数（大于IM尸2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题（1）定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.2CT2+=r注：(1)已知弦AB是椭圆+1=1(bO)的一条弦,中点M坐标为(%,%),则AB的斜率ab为-孕，运用点差法求AB的斜

2、率，设A(E,乂)，3*2，%)，A、8都在椭圆上，Qy0两式相减得：i=o,qI_73=。2/%X-%63+冗2_万3切乙一2.一2，故卜Aiay,+y2a0(2)弦A3的斜率与弦中心M和椭圆中心。的连线的斜率之积为定值：-r七、双曲线的定义把平面内与两个定点户”B的距离的差的绝对值等于非零常数(小于IQ尸2)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:P=MIIII一IMKi1=24,02。尸I尸2时，M的轨迹不存在.当IIMBI-IM/21=2=Q尸2时，M的轨迹是分别以尸”尸2为端点的两条射线.当I1M

3、B1IM尸2I=O,即IMBI=明尸2I时，M的轨迹是线段的垂直平分线.(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支.具体是哪一支,取决于IMG1与IME1的大小.若IMFiMF21,则IMI-1gO,点M的轨迹是靠近定点工的那一支；若IMFO,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.八、双曲线的方程及简单几何性质标准方程(0。0)(a0,Z0)图形1（一。，。），万2（。，0）性质焦点焦距范围对称性顶点IFiF2I=ZcXW一或atyR对称轴：坐标轴;对称中心：原点1(一40),42(“.0)Aj(O,a),&(0,a)轴双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形

4、.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义实轴：线段&，长：2a；虚轴：线段直曲，长：2b；和正弦定理、余弦定理.以双曲线二a-=1(40,h0)上一点P(X0,泗)(JO0)和焦点F(-c,O),B(c,0)为顶点的4PMB中，若NFIp尸2=，则双曲线的定义，I1P羽I-IPKII=2。余弦定理：IFiF2I2=PFPPF22-2PFIIPF2I-Cos.(3)面积公式：S2UAF2=/PI11P尸2卜SinO9j2重要结论：SAPFin=-gtan2推导过程：由余弦定理得IFEF=IPBFfIPBFrIPP1i1P尸2卜COSO得4c2=(I1P玛HPKII)2-2IP耳IIPKi(I+co

5、Se)4c2=4a2+2PF1PKI(I-cos)PF1PF2=2b21-cos由三角形的面积公式可得SF3=gP耳I1P耳ISine12b22Sin,2sin=b二b2I-CoSeI-CoSe2sincos22sin2-22_b2-tan2十、直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为“X2+必+c=0的形式，在0的情况下考察方程的判别式.（1MO时，直线与双曲线有两个不同的公共点.（2M=O时，直线与双曲线只有二公共点.（3MVO时，直线与双曲线没有公共点.当=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有二仝公共点.注：直线与双曲线的关系中：一解不一定

6、相切，相交不一定两解，两解不一定同支.2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A（x,y）,两点，则V.+J2)2-4JV2IAB1=(1+k2)(x1-x2)2=J(1+k2)5(x1+x2)2-4x1x2=JU+7j(y1-y2)2（k为直线斜率）2h23、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于4、B两点,则弦长A8=q-十一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线/（/不经过点尸）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线.注：在抛物线定义中，若去掉条件“，不经过点，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点尸在直线/上，点的轨迹

7、是过点“且垂直于直线,的直线.定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点一个定点只批物线的焦点）；一条定直线（撮物线的准线）；一个定值（点M到点尸的距离与它到定直线I的距离之比等于1）.十二、抛物线的方程及简单几何性质类型y2=2p(p0)炉=-2PX(P0)x2=2pypQ)2=-2Py(P0)十三、直线与抛物线的住置关系设直线/:y=kx+m,抛物线：y2=2px(p0)f将直线方程与抛物线方程联立整理成关于X的方程k2x2+2(kmp)x+2=0若kO,当垃时，直线与抛物线相交，有两个交点；当4=0时,直线与抛物线相切，有一个交点；当以O时,直线与抛物线相离，没有公共点.若=0,直线与抛物线

8、有二个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.十四、弦长问题过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A(X”j),Bx,力)两点，那么线段AB叫做焦点弦,如图：设Ab是过抛物线V=2p(p0)焦点尸的弦，若4(x,j),B(x2,Jz)*则IAb1=X1+m+5：(1)X1X2=4(2)J1J2=P2.(3)IA阴=x+m+p=悬(是直线AB的倾斜角).112品+=/定值(厂是抛物线的焦点)(5)求弦长问题的方法一般弦长：=T+Px1-x2,或IAAI=

9、J+乱1M焦点弦长：设过焦点的弦的端点为4(x,j),B(x2,y),则A8=x1+x2+p常用结论J4当加水O时表示双曲1 .轨迹类型：方程专+1=1,当zz7=0时表示圆；当加0或m0时表示椭圆;线.2 .椭圆结论:(1)如图1：焦点AE施周长C&RA&=2a+2c、面积S2rar=Stan；居的周长为：CAABR=4a；2A2通径：XC1=-(椭圆、双曲线通用)；a如图2：点尸是椭圆上一动点，则有：动点角范围：0WN4WN4刃2；焦半径范围：1CW阳Wa+c(长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；2|广。|范围：6WA0Wa(长、短轴顶点到原点最远、最近；斜率：kpA.kpAz=(3

10、)点尸(刘,Jb)和椭圆的关系：222点户在椭圆内O2+张1点尸在椭圆上=WaD(4)椭圆扁平程度：因为22点尸在椭圆外圆.,所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越3 .双曲线结论：(1)如图3：动点。到同侧焦点用的距离最小值为：I正I般小=14川=c-a；焦点到渐近线的距离为：IAM=氏22渐近线求法结论：可直接令方程2-5=4(40)等号右边的常数为0,化简解得;ab4 .抛物线结论：如图4：抛物线=2px(p0)焦点弦力8,设力(汨，力)、E(X2,%),月8的中点,准线为/.焦半径问题：焦半径：AF=AD=-v2jI朋=ISa=照+劳(随焦点位置变动而改变)；焦点弦：I必=乂+热+。=；

11、兮(其中，为直线的的倾斜角)；y%+$=；(2)A8两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即川片=一/(随焦点动而变)；图4(3)其他结论：五刖二W其中，为直线力的倾斜角)；以力夕为直径的圆必与准线相切于点解题方法与技巧一、“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制

12、条件.典例1：(1)一动圆与两圆：f+y2=1和2+y2-6x+5=0都外切，则动圆圆心的轨迹为()A,抛物线B.双曲线C.双曲线的一支D.椭圆(2)在平面直角坐标系Xo)，中，椭圆C的中心为原点，焦点R,B在X轴上，离心率为乎.过R的直线/交。于A,B两点,且AAB尸2的周长为16,那么C的方程为.解析：(1)x2+y2=1是圆心为原点，半径为1的圆，f+y26x+5=0化为标准方程为(彳-3+y2=4,是圆心为A(3,0),半径为2的圆.设所求动圆圆心为P,动圆半径为广，PO=r+则附一+20附一IPO1=IVA0=3,符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.1V(2)设椭圆方

13、程为了+京=1(abO),因为48过尸1且4,B在椭圆上，如图所示，则AABFz的周长为AF+AF2+BF2I=AB+AF2+山居1+1BB1=4=16,=4.又离心率c=半，c=22,h2=a2c2=S,?y，椭圆C的方程为j+=1.IosV2V2答案：(I)C行+=1二、求圆锥曲线方程的一般步骤一般求己知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.(1)定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为卬(卬0,70).(3)定量一一由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.典例2：(1)己知中心在原点的椭圆。的右焦点为尸(1,0),离心率等于当则C的方程是()a+4=1b4+=1c4+2=1D（2）已知抛物线）N=8x的准线过双曲线也一方=1（O,比0）的一个焦点，且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为c=1解析：由题意得2则加=/c2=3,故椭圆方程为+=1由题意呼=2解得EIa则从=/12=3,因此双曲线方程为/一1=1.2答案：（I）D（2）-=1三、圆锥曲线的性质及应用1圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、焦点、